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Quasi perfetti (congetture sui numeri)

Congetture  Teoria dei numeri 

Sono state avanzate varie congetture sui numeri quasi perfetti; nessuna è stata dimostrata, tranne quella sulla non esistenza di numeri quasi perfetti dispari, dimostrata falsa.

 

Vladimir Shevelev propose nel 2010 alcune congetture sui numeri quasi perfetti:

  • esistono infiniti numeri primi della forma (2n – 2m – 1) per ogni m fissato, quindi esistono infiniti numeri quasi perfetti nei quali i divisore ridondante è 2m; non è neppure stato dimostrato che i numeri quasi perfetti siano infiniti;

  • i divisori ridondanti dispari dei numeri quasi perfetti pari sono numeri di Mersenne;

  • i numeri diversi dalle potenze di 2 sono divisori ridondanti di al massimo un numero quasi perfetto.

 

Nel 2012 Paul Pollack e Vladimir Shevelev proposero la congettura che non esista alcun numero quasi perfetto dispari, ma nel 2010 Donovan Johnson trovò 173369889 = 3472112192, con divisore ridondante 2751903. Nessun altro numero quasi perfetto dispari è stato trovato; se esistono, sono maggiori di 1.4 · 1019 (Peter J.C. Moses, 2012).

Min Tang e Min Feng dimostrarono nel 2014 che non esistono numeri quasi perfetti dispari con 3 fattori primi distinti.

Min Tang, Xiaoyan Ma e Min Feng dimostrarono nel 2016 che 173369889 è l’unico numero quasi perfetto dispari con quattro fattori primi distinti.

Dato che è facile vedere che non possono esistere numeri quasi perfetti dispari con uno o due soli fattori primi distinti, eventuali altri numeri quasi perfetti dispari devono avere almeno 5 fattori primi distinti.

 

Xiao-Zhi Ren e Yong-Gao Chen avanzarono nel 2013 la congettura dell’esistenza dell’esistenza di un numero finito di numeri quasi perfetti con esattamente n divisori primi distinti, per ogni n > 2.

Vedi anche

Numeri quasi perfetti.

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