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Quasi perfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “quasi perfetti”, o “near perfect” in inglese, gli interi uguali alla somma dei loro divisori propri, tranne uno; sono quindi numeri pseudoperfetti e abbondanti. Per esempio, i divisori propri di 20 sono 1, 2, 4, 5 e 10 e 20 è uguale alla loro somma, escludendo 2. Il divisore escluso dalla somma si dice “ridondante”.

Una definizione alternativa è che un intero n è quasi perfetto se σ(n) – 2n è un divisore di n; per esempio, nel caso di 20 abbiamo che σ(20) – 2 • 20 = 42 – 40 = 2 e 2 divide 20.

 

I numeri quasi perfetti minori di 106 sono: 12, 18, 20, 24, 40, 56, 88, 104, 120, 196, 224, 234, 368, 464, 650, 672, 992, 1504, 1888, 1952, 3724, 5624, 9112, 11096, 13736, 15376, 15872, 16256, 17816, 24448, 28544, 30592, 32128, 77744, 98048, 122624, 128768, 130304, 174592, 396896, 507392, 521728, 522752, 523776, 537248, 642976, 698528, 791264.

Qui trovate i numeri quasi perfetti minori di 1011, ciascuno seguito dal divisore ridondante tra parentesi (Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Tutti i numeri n-perfetti multipli di n – 2, come i numeri triperfetti e i numeri quadriperfetti pari, sono quasi perfetti.

 

Sarebbero anche quasi perfetti i numeri perfetti ridotti, se esistessero.

 

Nel 2010 Vladimir Shevelev dimostrò che:

  • se 2n – 2m – 1 è primo, 2n – 1(2n – 2m – 1) è quasi perfetto e il divisore ridondante è 2m; per esempio, 25 – 23 – 1 = 23 è primo e 2423 = 368 è quasi perfetto, uguale alla somma dei suoi divisori propri, tranne 23 = 8; in particolare sono quasi perfetti i numeri della forma 2n – 1(2nFm), per 2m < n e (2nFm) primo, dove Fn è l’n-esimo numero di Fermat;

  • se 2n – 1(2n – 1) è un numero perfetto pari, 2m2n – 1(2n – 1) è quasi perfetto se e solo se m = 1, nel qual caso il divisore ridondante è 2n, o m = n, nel qual caso il divisore ridondante è 2n(2n – 1); per esempio, 22(23 – 1) = 28 è perfetto e gli unici numeri quasi perfetti della forma 2n28 sono 2128 = 56 e 2328 = 224;

  • se p e 2p – 1 sono primi (ovvero se 2p – 1 è un primo di Mersenne), 2p – 1(2p – 1)2 è quasi perfetto, con divisore ridondante 2p – 1; per esempio, 5 e 25 – 1 = 31 sono primi e 24(25 – 1)2 = 15376 è quasi perfetto, con divisore ridondante 31.

Una curiosa conseguenza di queste dimostrazioni è che ogni numero perfetto pari, necessariamente della forma 2p – 1(2p – 1) (Eulero), è differenza di due numeri quasi perfetti: 2p2p – 1(2p – 1) e 2p – 1(2p – 1)2.

 

Shevelev avanzò alcune congetture sui numeri quasi perfetti:

  • esistono infiniti numeri primi della forma (2n – 2m – 1) per ogni m fissato, quindi esistono infiniti numeri quasi perfetti nei quali i divisore ridondante è 2m, ma non è stato dimostrato; non è neppure stato dimostrato che i numeri quasi perfetti siano infiniti;

  • i divisori ridondanti dispari dei numeri quasi perfetti pari sono numeri di Mersenne.

  • i numeri diversi dalle potenze di 2 sono divisori ridondanti di al massimo un numero quasi perfetto.

 

Nel 2012 Paul Pollack e Vladimir Shevelev dimostrarono che:

  • per ogni n abbastanza grande, esistono infiniti numeri uguali alla somma dei propri divisori, tranne n di questi;

  • il numero di interi quasi perfetti minori di n tende al massimo a n^(5 / 6); l’evidenza sperimentale indica che il loro numero è molto minore;

  • i numeri quasi perfetti dispari sono quadrati.

 

I due matematici supposero che non esista alcun numero quasi perfetto dispari, ma nel 2010 Donovan Johnson trovò 173369889 = 3472112192, con divisore ridondante 2751903. Nessun altro numero quasi perfetto dispari è stato trovato; se esistono, sono maggiori di 1.4 • 1019 (Peter J.C. Moses, 2012).

Min Tang, Xiao-Zhi Ren e Meng Li dimostrarono nel 2013 che non esistono numeri quasi perfetti dispari con tre fattori primi distinti.

Min Tang, Xiaoyan Ma e Min Feng dimostrarono nel 2016 che 173369889 è l’unico numero quasi perfetto dispari con quattro fattori primi distinti.

 

Xiao-Zhi Ren e Yong-Gao Chen dimostrarono nel 2013 che tutti i numeri quasi perfetti pari con due soli fattori primi distinti sono di una della forme individuate da Shevelev, tranne 40 = 235, e avanzarono la congettura dell’esistenza di un numero finito di numeri quasi perfetti con esattamente n divisori primi distinti, per ogni n > 2.

 

Yanbin Li e Qunying Liao dimostrarono nel 2015 che:

  • se pm è la massima potenza di un primo p che divide un numero quasi perfetto n con divisore ridondante d, p divide σ(n / p^m) – d;

  • se pm è la massima potenza di un primo p che divide un numero quasi perfetto pari, m è dispari se e solo se il divisore ridondante è pari;

  • 2npq è un numero quasi perfetto pari con p e q primi dispari e p < q, se e solo se vale una delle seguenti tre condizioni:

    • p = (2^(n + 1) – 1 + k) / (2^m + 1 – k), dove k = (2^(n + 1) – 1) / q, con 1 ≤ m < n, e in tal caso il divisore ridondante è 2mpq; per esempio, per n = 9, m = 7 e q = 31 abbiamo k = 33, p = 11 e il numero quasi perfetto 174592 con divisore ridondante 43648;

    • p = 2^(n + 1) – 1 + (2^n – 2^(m – 1)) / k, dove k = (q – 2^(n + 1) + 1 + 2^m) / (2 * (2^(n + 1) – 1)), con 1 ≤ m < n, e in tal caso il divisore ridondante è 2mp; per esempio, per n = 3, m = 2 e q = 101 abbiamo k = 3, p = 17 e il numero quasi perfetto 13736 con divisore ridondante 68;

    • q = 2^(n + 1) – 1 – (2^(2 * n + 1) – 2^n – 2^(m – 1)) / k, dove k = (p – 2^(n + 1) + 1) / 2, con 1 ≤ m < n, e in tal caso il divisore ridondante è 2m; per esempio, per n = 4, m = 3 e p = 43 abbiamo k = 6, q = 113 e il numero quasi perfetto 77744 con divisore ridondante 8;

  • 2np2q è un numero quasi perfetto pari con p e q primi dispari e p < q, se e solo se vale una delle seguenti tre condizioni:

    • esistono interi m e r, con 1 ≤ mn e 0 ≤ r ≤ 2, tali che 2mpr = (2n + 1 – 1)(p2 + p + 1) – 2kq, dove k = p – (2n + 1 – 1)(q + 1), e in tal caso il divisore ridondante è 2mpr; per esempio, per n = 1, m = 1, p = 5 e q = 13 abbiamo k = 7, r = 0 e il numero quasi perfetto 650 con divisore ridondante 2;

    • esiste un intero m, con 1 ≤ mn, tale che 2mq = (2n + 1 – 1)(q + 1) – 2kp, dove k = (p * q – (2^(n + 1) – 1) * (p + q + 1)) / 2, e in tal caso il divisore ridondante è 2mq; non si conoscono numeri quasi perfetti di questa forma; se esistono, p e q sono maggiori di 100000 (M. Fiorentini, 2017);

    • esistono interi m e r, con 1 ≤ mn e 1 ≤ r ≤ 2, tali che 2mpr = (2n + 1 – 1)(p + 1) + kp2 dove k = (2^(n + 1) – 1) * (p^2 + p + 1) / q, e in tal caso il divisore ridondante è 2mprq; per esempio, per n = 1, m = 1, p = 3 e q = 13 abbiamo k = 3, r = 1 e il numero quasi perfetto 234 con divisore ridondante 78;

  • se p = 2n – 1 e q = (2^(2 * n) – 2^n + 1) / 3 sono primi, vale la terza condizione del teorema (con m = 22 e r = 1) e il numero2n – 1pq è quasi perfetto, con divisore ridondante 2np; gli unici casi del genere noti sono:

    • per n = 3, 532 = 227219 con divisore ridondante 56;

    • per n = 5, 164176 = 24312331 con divisore ridondante 992;

    • per n = 7, 44045632 = 2612725419 con divisore ridondante 1256;

    • per n = 13, 750416708325376 = 268192222366891 con divisore ridondante 67100672;

    • per n = 61, 4711592172742358208135471893005412421690002313647380562161747789795557376 = 26230584300921369395121772303994379887829769795077302561451 con divisore ridondante 5316911983139663489309385231907684352;

  • l’unico numero quasi perfetto della forma 2np2q con p e q primi, p = 2n + 1 – 1 e q = p2 + p + 1 è 234 = 2 • 32 • 13.

 

I due matematici trovarono vari numeri quasi perfetti della forma 2npq nei tre casi previsti dal teorema:ZZZ

  • nel primo caso, 8 numeri per n ≤ 1000:

    • 174592 = 29 • 11 • 31,

    • 44736512 = 213 • 43 • 127,

    • 750599926710272 = 225 • 2731 • 8191,

    • 49191317527028826112 = 233 • 43691 • 131071,

    • 12592977287606574252032 = 237 • 174763 • 524287,

    • 3544607988759775660308204491009687552 = 261 • 715827883 • 2147483647,

    • 4711592172742358212222126668647782707987138394478373306388411829926756352 = 2121 • 768614336404564651 • 2305843009213693951,

    • 139664665936902053120562760397977563827910060631170764351287098372101708646594623004634635764429261914062469859948676780365534589122799370941687463411712 = 2253 • 56713727820156410577229101238628035243 • 170141183460469231731687303715884105727;

  • nel secondo caso 289 numeri per n ≤ 25;

  • nel terzo caso 248 numeri per n < 100 e k ≤ 100.

 

Bhabesh Das e Helen K. Saikia dimostrarono nel 2017 che:

  • l’unico numero quasi perfetto della forma 2p2 con p primo è 18 = 2 • 32;

  • l’unico numero quasi perfetto della forma 4p2 con p primo è 196 = 4 • 72;

  • gli unici numeri quasi perfetti della forma 4Fn con Fn primo di Fermat sono 12 = 4 • 3 e 20 = 4 • 5;

  • l’unico numero quasi perfetto della forma 2p2q con divisore ridondante 2 e p e q primi dispari distinti è 650 = 2 • 52 • 13;

  • non esistono numeri quasi perfetti della forma pq, con p e q primi dispari distinti;

  • non esistono numeri quasi perfetti della forma 2pq, con p e q primi dispari distinti;

  • non esistono numeri quasi perfetti della forma 2npq con divisore ridondante pq e p e q primi dispari distinti.

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