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Pseudofattoriali

Sequenze  Teoria dei numeri 

I fattoriali possono essere definiti tramite la ricorrenza a0 = 1, Ricorrenza per la definizione dei fattoriali; se si alternano i segni delle somme, ossia se Ricorrenza per la definizione degli pseudofattoriali, si ottengono i cosiddetti pseudofattoriali.

 

an è negativo se e solo se n diviso 4 dà resto 1 o 2.

 

Asintoticamente a2n tende a Limite asintotico cui tende a(2 * n) e a2n + 1 tende a Limite asintotico cui tende a(2 * n + 1), dove Formula per la definizione di r (Roland Bacher e Philippe Flajolet, 2009).

 

Non è nota un espressione della funzione generatrice degli pseudofattoriali tramite funzioni elementari, ma se ne conosce un’espressione come frazione continuaFunzione generatrice degli pseudofattoriali, espressa come frazione continua (Roland Bacher e Philippe Flajolet, 2009).

 

La tabella seguente mostra gli pseudofattoriali fino ad a20.

n

an

0

1

1

–1

2

–2

3

2

4

16

5

–40

6

–320

7

1040

8

12160

9

–52480

10

–742400

11

3872000

12

66457600

13

–411136000

14

–8202444800

15

58479872000

16

1335009280000

17

–10791497728000

18

–277035646976000

19

2502527565824000

20

71391934873600000

 

Per gli pseudofattoriali sembra valere una sorta di analogo del teorema di Wilson (v. numeri primi):

  • se p è un primo della forma 3n + 1, ap – 1 + ap + 1 è multiplo di p.

  • se p è un primo della forma 3n + 2, ap – 1 – 1 è multiplo di p.

Questa proprietà è stata verificata per i primi fino a 10000, ma non è stata dimostrata.

Vedi anche

Fattoriali.

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