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Znám (problema di)

Problemi  Teoria dei numeri 

Nel 1972 Štefan Znám (Veľký Blh, Slovacchia, 9/2/1936 – Bratislava, 17/7/1993) propose il problema di trovare un insieme di n interi maggiori di uno, tali che ciascuno sia un divisore proprio (ossia diverso dal dividendo) del prodotto degli altri più uno.

La condizione che gli interi siano maggiori di 1 serve a evitare la soluzione banale con insiemi formati da ±1; inoltre aggiungendo elementi uguali a ±1 si trasforma una soluzione per un certo valore di n in una per n maggiore.

 

La prima soluzione si deve a Jaroslav Janák, che trovò l’insieme { 2, 3, 11, 23, 31 }:

  • 2 divide 3 • 11 • 23 • 31 + 1 = 23530;

  • 3 divide 2 • 11 • 23 • 31 + 1 = 15687;

  • 11 divide 2 • 3 • 23 • 31 + 1 = 4279;

  • 23 divide 2 • 3 • 11 • 31 + 1 = 2047;

  • 31 divide 2 • 3 • 11 • 23 · 31 + 1 = 1519.

 

Ladislav Skula dimostrò nel 1975 che il problema di Znám non ha soluzioni per n < 5, e che la soluzione di Janák è la minima possibile.

 

Janák e Skula dimostrarono nel 1978 che:

  • il numero di soluzioni è finito per ogni valore di n;

  • il minimo numero di ogni soluzione non supera n;

  • ordinando gli elementi dell’insieme che costituisce una soluzione in ordine crescente, l’m-esimo è minore del prodotto dei numeri inferiori per nm + 1.

I due matematici elencarono anche tutte le soluzioni per n fino a 6.

Lawrence Brenton e Hill Richard elencarono nel 1988 tutte le soluzioni per n = 7.

Lawrence Brenton e Ana Vasiliu elencarono nel 2002 tutte le soluzioni per n = 8.

 

B. Novák dimostrò che per n > 3 il minimo numero di ogni soluzione non supera n – 2.

 

Nel 1983 Qi Sun mostrò come ottenere una soluzione per il problema di Znám per ogni n > 4; in particolare per n dispari si prendono i primi n – 2 numeri di Sylvester, poi si calcola il loro prodotto p e si completa l’insieme con p + 5 e p + (p^2 + 1) / 2; per esempio, per n = 5 i primi 3 numeri di Sylvester sono 2, 3 e 7, quindi p = 42 e i numeri 47 e 395 completano l’insieme.

 

La tabella seguente mostra il numero di soluzioni e alcune soluzioni per i primi valori di n.

n

Numero di soluzioni

Soluzioni

5

2

{ 2, 3, 7, 47, 395 }, { 2, 3, 11, 23, 31 }

6

5

{ 2, 3, 7, 43, 1823, 193667 }, { 2, 3, 7, 47, 403, 19403 }, { 2, 3, 7, 47, 415, 8111 }, { 2, 3, 7, 47, 583, 1223 }, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323 }

7

18

{ 2, 3, 7, 43, 1807, 3263447, 2130014000915 }, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263591, 71480133827 }, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3264187, 14298637519}, { 2, 3, 7, 43, 3263, 4051, 2558951 }, { 2, 3, 7, 43, 3559, 3667, 33816127 }, { 2, 3, 7, 47, 395, 779831, 6020372531 }, { 2, 3, 7, 67, 187, 283, 334651 }, { 2, 3, 11, 17, 101, 149, 3109 }, { 2, 3, 11, 23, 31, 47063, 442938131 }, { 2, 3, 11, 23, 31, 47095, 59897203 }, { 2, 3, 11, 23, 31, 47131, 30382063 }, { 2, 3, 11, 23, 31, 47243, 12017087 }, { 2, 3, 11, 23, 31, 47423, 6114059 }, { 2, 3, 11, 23, 31, 49759, 866923 }, { 2, 3, 11, 23, 31, 60563, 211031 }, { 2, 3, 11, 25, 29, 1097, 2753 }, { 2, 3, 13, 25, 29, 67, 2981 }, { 2, 3, 11, 31, 35, 67, 369067 }

8

93

{ 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650057792155, 134811739261383753719}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10652778201539, 41691378583707695}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10699597306267, 2300171639909623}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263447, 2130014387399, 11739058070963394487}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263479, 288182779055, 243811701792623}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263483, 260604226747, 80249212735823}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263495, 200947673239, 67137380077902268343}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263495, 200949404503, 23316080984691 959}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263531, 119666789791, 8081907028348841339}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263779, 31834629787, 4396910340967}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3316627, 203509259, 109643149191047}, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3586039, 36800447, 2550097247}, { 2, 3, 7, 43, 1811, 655519, 389313431, 1507818475}, { 2, 3, 7, 43, 1811, 713899, 7813583, 2409102303622951}, { 2, 3, 7, 43, 1811, 793595, 3722287, 233296531681207}, { 2, 3, 7, 43, 1817, 298637, 279594269, 3859101523354821017}, { 2, 3, 7, 43, 1819, 252731, 2134319143, 6047845668256680791}, { 2, 3, 7, 43, 1823, 193667, 637617223459, 312735 17203328870463055}, { 2, 3, 7, 43, 1823, 193675, 46832109 19, 754794584867}, { 2, 3, 7, 43, 1831, 132347, 231679879, 1197240789041771}, { 2, 3, 7, 43, 1891, 40379, 9444811, 55866875}, { 2, 3, 7, 43, 1943, 25615, 456729463, 450222796871}, { 2, 3, 7, 43, 1951, 30571, 118463, 14484098803019}, { 2, 3, 7, 43, 2105, 12773, 2775277, 168100338289}, { 2, 3, 7, 43, 2137, 16921, 37501, 49708999789}, { 2, 3, 7, 43, 2755, 5407, 172771, 357538828973647}, { 2, 3, 7, 43, 2813, 5045, 692705317, 188433744928309}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779731, 607979652647, 21743485766025360000683}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779731, 607979652683, 6974325623477705424647}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779731, 607979653531, 410254449012081168631}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779731, 607979655287, 139119028839856004123}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779731, 607979697799, 8183472856913555659}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779731, 607979793451, 2624887933109395 11 1}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779731, 607982046587, 154405744751990423}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779743, 46768385339, 1672627310178141725483}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779747, 35764242947, 12154487527525118239}, { 2, 3, 7, 47, 395, 779827, 6286857907, 2158880732959}, { 2, 3, 7, 47, 395, 781727, 305967719, 125881309327}, { 2, 3, 7, 47, 395, 7821 11, 257276179, 57278664659}, { 2, 3, 7, 47, 395, 782287, 277442411, 1701723083}, { 2, 3, 7, 47, 395, 782611, 211810259, 1592773460578079}, { 2, 3, 7, 47, 395, 816247, 17428931, 652510750371360683}, { 2, 3, 7, 47, 395, 1108727, 2627707, 140495574531059}, { 2, 3, 7, 47, 403, 19403, 15435513395, 8215692183434294399}, { 2, 3, 7, 47, 403, 19403, 15435513463, 2456237880094942747}, { 2, 3, 7, 47, 403, 19403, 15435516179, 84697872837562655}, { 2, 3, 7, 47, 415, 8111, 6644612339, 1522443894582665279}, { 2, 3, 7, 47, 415, 8111, 6644613463, 38292177286592827}, { 2, 3, 7, 47, 415, 8111, 6644645747, 1320426321921983}, { 2, 3, 7, 47, 449, 4477, 12137, 34035763385}, { 2, 3, 7, 47, 583, 1223, 1407479807, 48317057302587443}, { 2, 3, 7, 47, 583, 1223, 1468268915, 33995520959}, { 2, 3, 7, 47, 583, 1223, 2202310039, 3899834875}, { 2, 3, 7, 53, 209, 10589, 19651, 86321}, { 2, 3, 7, 53, 269, 817, 7301713, 48932949591475}, { 2, 3, 7, 53, 401, 409, 351691, 397617853}, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323, 10057317287, 5949978284730273323}, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323, 10057317311, 2467064172726591731}, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323, 10057317467, 513449911932648503}, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323, 10057317967, 145121431390804003}, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323, 10057320619, 30202945461748519}, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323, 10057325347, 12523178395739983}, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323, 10057454579, 736667018400959}, { 2, 3, 7, 61, 187, 485, 150809, 971259409}, { 2, 3, 7, 61, 293, 457, 551, 21709309}, { 2, 3, 7, 65, 121, 6271, 1579937, 2869621}, { 2, 3, 7, 71, 103, 65059, 1101031, 4400294969594807}, { 2, 3, 11, 17, 79, 301, 1049, 3696653}, { 2, 3, 11, 17, 97, 151, 444161, 317361415625}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214502427, 980804197623275639}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214502475, 92528699894575367}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214502687, 18505741750517011}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214502831, 11990273552017987}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214504467, 2398056482005535}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214524099, 226233749172527}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214610807, 45248521436443}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2215070383, 8636647107907}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2217342227, 1729101023519}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2244604355, 165128325167}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2294166883, 63772955407}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2365012087, 34797266971}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2446798471, 23325584587}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2612824727, 14526193019}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 3375982667, 6436718855}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47063, 447473399, 43702604167}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47119, 36349891, 4619150372467}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47147, 24928579, 11061526082145911}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47479, 5307047, 2371471764522551}, { 2, 3, 11, 23, 31, 47491, 5161279, 4952592862147}, { 2, 3, 11, 23, 31, 74963, 126415, 259118345891}, { 2, 3, 11, 23, 31, 84527, 106159, 84453127154999}, { 2, 3, 11, 25, 29, 787, 264841, 2542873}, { 2, 5, 7, 11, 17, 157, 961, 4398619}

9

?

{ 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000447, 2572987736655734348107429290411162753668127385839515 }

10

?

{ 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214502423, 4904020979258368507, 24049421765006207593444550012151040547, 115674937446230858658157460659985774139375256845351399814552547262816571295 }

 

Z. Cao e Qi Sun dimostrarono nel 1988 che vi sono almeno 5 soluzioni per n = 11.

Z. Cao e C. Jing dimostrarono nel 1998 che vi sono almeno 39 soluzioni per n > 11.

 

Si ignora se esistano soluzioni con soli numeri dispari; tutte le soluzioni note hanno 2 come numero minimo, tranne un’unica eccezione, scoperta da Rolland Girgensohn nel 1996 per n = 13: { 3, 4, 5, 7, 29, 41, 67, 89701, 230865947737, 5726348063558735709083, 172509500849902989281836693100308633431804359, 428596832385786878003379724333422434733374132288492887588514414196525736338894723726187, 4754717350939481607957800419492385085075824146211772113509986641996660938291241829057128592157690457223767635578617952597534252744929680110197649133558287624332177380360519 }.

Dato che tutti i numeri che formano una soluzione sono primi tra loro, al massimo uno è pari.

 

G.E.J. Barbeau aveva posto nel 1971 il problema analogo, oggi detto “problema di Znám improprio”, nel quale si rimuove il requisito che il divisore sia proprio, per n = 3 (Canadian Mathematical Bulletin, n. 14, 1971, problema 179, pag 129).

L’unica soluzione del problema improprio per n = 3 è { 2, 3, 7 }:

  • 2 divide 3 • 7 + 1 = 22;

  • 3 divide 2 • 7 + 1 = 15;

  • 7 divide 2 • 3 + 1 = 7, ma non è un divisore proprio.

 

Ogni soluzione del problema di Znám è anche soluzione del problema improprio, ma non viceversa.

 

I primi n numeri di Sylvester costituiscono una soluzione del problema improprio per qualsiasi valore di n.

 

L.J. Mordell elencò nel 1972 tutte le soluzioni del problema improprio per n fino a 5, pubblicate postume l’anno seguente. Mordell considerò anche interi negativi e la possibilità di sottrarre uno al prodotto, invece di sommarlo; le sue soluzioni sono elencate nella tabella seguente.

n

Insiemi, sommando 1

Insiemi, sottraendo 1

2

{ 2, ±3 }

{ –2, ±3 }

3

{ 2, 3, 7 }

{ 2, 3, 5 }

4

{ 2, 3, 5, –31}, { 2, 3, 7, 43 }

{ 2, 3, 5, –29 }, { 2, 3, 7, 41 }, { 2, 3, 11, 13 }

5

{ 2, 3, 7, 43, 1807 }, { 2, 3, 7, 41, –1723 }, { 2, 3, 7, 47, 395 }, { 2, 3, 7, 37, –311 }, { 2, 3, 11, 13, –859 }, { 2, 3, 11, 23, 31 }

{ 2, 3, 7, 43, 1805 }, { 2, 3, 7, 41, –1721 }, { 2, 3, 7, 83, 85 }, { 2, 3, 11, 13, 59 }, { 2, 3, 11, 13, –857 }, { 2, 3, 11, 17, 59 }, { 2, 3, 11, 17, –857 }

 

Invertendo i segni di tutti i numeri dell’insieme:

  • per n pari si trasforma una soluzione sommando 1 un una sottraendo 1 e viceversa; per esempio, la soluzione { 2, 3, 5, –31 } sommando 1 diventa la soluzione { –2, –3, –5, 31 } sottraendo 1;

  • per n dispari si ottiene un’altra soluzione; per esempio, la soluzione { 2, 3, 7 } diventa la soluzione { –2, –3, –7 }.

 

Nel 1978 Janák e Skula dimostrarono che il problema improprio ha anche le seguenti soluzioni, oltre a quelle del problema di Znám (l’elenco potrebbe essere incompleto per n = 7):

  • per n = 6, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443 }, { 2, 3, 7, 47, 395, 779731 } e { 2, 3, 11, 23, 31, 47059 };

  • per n = 7, { 2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807 }, { 2, 3, 7, 43, 1823, 193667, 637617223447 }, { 2, 3, 7, 47, 395, 779831, 607979652631 }, { 2, 3, 7, 47, 403, 19403, 15435513367 }, { 2, 3, 7, 47, 415, 8111, 6644612311 }, { 2, 3, 7, 47, 583, 1223, 1407479767 }, { 2, 3, 7, 55, 179, 24323, 10057317271 }, { 2, 3, 11, 23, 31, 47059, 2214502423 }.

 

I numeri ak che formano l’insieme che costituisce una soluzione del problema improprio per un valore di n sono soluzioni intere dell’equazione Equazione che ha per soluzione i numeri che formano l’insieme che costituisce una soluzione del problema improprio o dell’equazione equivalente Equazione che ha per soluzione i numeri che formano l’insieme che costituisce una soluzione del problema improprio, con x intero; in tutte le soluzioni note x = 1; si ignora se siano possibili soluzioni con valori diversi di x. Se x = 1 e i vari ak sono primi, il loro prodotto è un numero pseudoperfetto primario.

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