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Stirling di seconda specie (numeri di)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori

La formula più semplice per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie può essere dimostrata per induzione in modo semplice: esiste un solo modo per suddividere n oggetti in 1 insieme e uno solo per suddividerli in n insiemi non vuoti, quindi S(n, 1) = S(n, n) = 1; supponiamo di avere una partizione di n – 1 oggetti di volerne aggiungere uno, in modo da avere alla fine k sottoinsiemi: possiamo aggiungere un insieme formato dal nuovo oggetto a k – 1 sottoinsiemi formati dagli altri, in un solo modo, oppure possiamo aggiungerlo a uno di k sottoinsiemi già esistenti, in k modi diversi, quindi Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie:

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie, dove Sn(x) è un polinomio di Stirling;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie, dove Bn(x) è un polinomio di Nørlund;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie (L. Carlitz, 1960):

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie;

Formula per il calcolo dei numeri di Stirling di seconda specie.

 

Alcune formule per somme di numeri di Stirling di seconda specie:

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, dove bn è l’n-esimo numero di Bell;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, dove bn è l’n-esimo numero di Bell complementare;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, dove b*n è l’n-esimo numero di Bell ordinato;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, dove bn(x) è l’n-esimo polinomio di Bell;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, dove δn, m vale 1, se n = m e 0 altrimenti;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, dove δn, m vale 1, se n = m e 0 altrimenti;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie (T. Agoh e K. Dilcher, 2010);

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, per nm (T. Agoh e K. Dilcher, 2010).

 

Formule che legano somme di numeri di Stirling di seconda specie, fattoriali e potenze:

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie e in particolare Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, una formula per la somma di potenze di interi più semplice di quella di Faulhaber (v. numeri di Bernoulli);

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, per z diverso da 0;

Somma che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, per mn.

Dall’ultima formula si ricava che n! * S(m, n) è il numero di modi di costruire sequenze di m oggetti, di n tipi diversi, in modo che ve ne sia almeno uno per tipo. Per esempio, 10! * S(m, 10) è il numero di interi che, scritti in base 10, sono composti da m cifre e contengono tutte le cifre almeno una volta.

Di conseguenza n! * S(m, n) / n^m è la probabilità di pescare almeno una volta ogni carta, pescando m volte da un mazzo di n e rimettendo ogni volta nel mazzo la carte pescata. Perché la la probabilità diventi maggiore di 1 / 2, bisogna pescare 62 carte da un mazzo di 40 e 225 da uno di 52 (v. anche γ).

 

Data una funzione F(n, k), definita per argomenti interi positivi, possiamo definire la funzione G(n, m) come Formula per la definizione della funzione G(n, m); vale allora l’identità Identità che coinvolge le funzioni F(n, k) e G(n, m) (L.C.Hsu, 1991). Tramite questa si ricavano innumerevoli altre identità, che coinvolgono coefficienti binomiali e numeri di Stirling di seconda specie:

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie;

Identità che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie.

 

Altre formule:

Integrale che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie, dove l’integrale è calcolato lungo una circonferenza che circonda l’origine; e in particolare Integrale che coinvolge numeri di Stirling di seconda specie.

 

Per altre formule con numeri di Stirling di seconda specie, v. anche numeri di Stirling di prima specie.

Bibliografia

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.

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