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Erdös sulle somme di potenze (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Una congettura proposta da Paul Erdös in una lettera a Leo Moser del 1950 afferma che l’unica soluzione intera dell’equazione Somma delle n-esime potenze degli interi da 1 a m – 1 uguale a m^n sia 11 + 21 = 31, ossia che non esista un’altra n-esima potenza uguale alla somma delle n-esime potenze di tutti gli interi inferiori.

 

Nel 1953 Leo Moser dimostrò che se esiste una soluzione:

  • m > 101000000;

  • Somma dei reciproci dei primi che dividono m – 1 più 1 / (m – 1) uguale a un intero, con x1 intero;

  • Somma dei reciproci dei primi che dividono 2 * m – 1 più 1 / (2 * m – 1) uguale a un intero, con x2 intero;

  • Somma dei reciproci dei primi che dividono 2 * m + 1 più 1 / (2 * m + 1) uguale a un intero, con x3 intero;

  • se m è dispari, è della forma 8k + 3 e Somma dei reciproci dei primi che dividono (m + 1) / 2 più il reciproco di (m + 1) / 2 uguale a un intero, con x4 intero.

Non si conoscono soluzioni di queste equazioni per x1, x2, x3 o x4 maggiori di 1; le soluzioni dell’equazione Somma dei reciproci dei primi che dividono m più 1 / m uguale a 1 sono i numeri pseudoperfetti primari; nessuno dei pochi noti soddisfa tutte le condizioni.

 

Ghuo-Fu Zhou e Ji-Ding Kang dimostrarono nel 1983 che se esiste una soluzione, m > 102000000.

 

Pieter Moree, te Riele e Urbanowicz dimostrarono nel 1994 che n dev’essere divisibile per il minimo comune multiplo degli interi sino a 200 e m deve avere solo fattori primi che sono primi irregolari maggiori di 1000.

 

Nel 1999 William Butske, Lynda M. Jaje e Daniel R. Mayernik dimostrarono che m deve avere almeno 4990906 fattori primi e di conseguenza m > 1.485 • 109321153.

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