Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pseudoperfetti primari (numeri)

Teoria dei numeri 

Si dicono “pseudoperfetti primari” i numeri interi uguali alla somma dei quozienti ottenuti dividendoli per i loro fattori primi, più uno; per esempio, 42 = 42 / 2 + 42 / 3 + 42 / 7 + 1.

 

Una definizione equivalente è che n è pseudoperfetto primario se Formula per la definizione dei numeri pseudoperfetti primari, dove la somma va calcolata per i soli divisori primi di n. La somma fornisce una rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte. Per esempio, 1 = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 7 + 1 / 42.

Nel caso dei numeri pseudoperfetti la somma si calcola su alcuni divisori, nel caso dei numeri perfetti su tutti.

 

 

Dato che i numeri pseudoperfetti primari non sono multipli di quadrati, la definizione può anche essere formulata come: n è pseudoperfetto primario se Formula per la definizione dei numeri pseudoperfetti primari.

 

Tutti i numeri pseudoperfetti primari tranne 2 sono pseudoperfetti; tutti tranne 2 (deficiente) e 6 (perfetto) sono abbondanti.

 

Sono noti tutti i numeri pseudoperfetti primari con fino a 8 fattori primi, mostrati nella tabella seguente (William Butske, Lynda M. Jaje e Daniel R. Mayernik, 1999).

Numero di fattori primi

Pseudoperfetti primari

1

2 = 2

2

6 = 2 • 3

3

42 = 2 • 3 • 7

4

1806 = 2 • 3 • 7 • 43

5

47058 = 2 • 3 • 11 • 23 • 31

6

2214502422 = 2 • 3 • 11 • 23 • 31 • 47059

7

52495396602 = 2 • 3 • 11 • 17 • 101 • 149 • 3109

8

8490421583559688410706771261086 = 2 • 3 • 11 • 23 • 31 • 47059 • 2217342227 • 1729101023519

 

Come si vede sono tutti pari: non è noto se ne esistano di dispari, se siano infiniti e se ne esistano due con lo stesso numero di fattori primi.

 

Se n è preudoperfetto primario e n + 1 è primo, n(n + 1) è pseudoperfetto primario; per esempio, 47058 è pseudoperfetto primario e 47059 è primo, quindi 47058 • 47059 = 2214502422 è preudoperfetto primario.

 

I numeri pseudoperfetti primari sono le soluzioni dell’equazione n’ = n + 1, dove n’ è la derivata aritmetica di n.

 

Se n è pseudoperfetto primario e n – 1 è primo, n(n – 1) è un numero di Giuga; i numeri pseudoperfetti primari n noti, tali che n – 1 sia primo sono: 6, 42 e 47058.

 

Se si modifica la definizione calcolando la somma non sui fattori primi del numero, ma sulla massima potenza di ogni primo p che divide n, sono noti altri due numeri (William Butske, Lynda M. Jaje e Daniel R. Mayernik, 1999): 144508961850 = 2 • 3 • 52 • 11 • 29 • 1097 • 2753 e 20882840055109264384350 = 2 • 3 • 52 • 11 • 29 • 1097 • 2753 • 144508961851. Per esempio, 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 5^2 + 1 / 11 + 1 / 29 + 1 / 1097 + 1 / 271 / 144508961850 = 153 + .

 

Se invece si modifica la definizione, richiedendo che Formula per la definizione dei numeri di Giuga, si conoscono 13 soluzioni, corrispondenti ai numeri di Giuga noti.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.