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Fattoriali oscillanti

Teoria dei numeri 

Si chiamano “fattoriali oscillanti” gli interi che costituiscono la sequenza definita come Formula per la definizione dei fattoriali oscillanti; il termine deriva dal fatto che per n > 4 ogni termine di indice pari è minore del precedente e ogni termine di indice dispari è maggiore del precedente, quindi la sequenza alternativamente cresce e decresce.

Furono inizialmente studiati da Peter Luschny nel 2008, per sviluppare un algoritmo efficiente per il calcolo dei fattoriali. Luschny infatti dimostrò che calcolando n! come Formula per il calcolo dei fattoriali, si ottiene un algoritmo che permette di calcolare n! con un numero di operazioni (su cifre singole) che cresce come nlog2nloglogn, grazie al fatto che il calcolo di an è relativamente veloce, se si conoscono tutti i numeri primi minori di n.

 

I fattoriali oscillanti possono anche essere calcolati con la ricorrenza a0 = 1, Ricorrenza per il calcolo dei fattoriali oscillanti, ovvero Ricorrenza per il calcolo dei fattoriali oscillanti per n pari e an = nan – 1 per n dispari.

 

Alcune formule che coinvolgono i fattoriali oscillanti:

Formula per il calcolo dei fattoriali oscillanti per n pari e Formula per il calcolo dei fattoriali oscillanti per n dispari.

nan + (n – 2)an – 1 – 4(2n – 3)an – 2 – 4(n – 1)an – 3 + 16(n – 3)an – 4 = 0 (Alexander R. Povolotsky, 2012);

Formula per il calcolo dei fattoriali oscillanti;

Somma dei reciproci dei fattoriali oscillanti (Alexander R. Povolotsky, 2012).

 

L’esponente della massima potenza di un primo p che divide an è Formula per l’esponente della massima potenza di un primo p che divide a(n) (Peter Luschny, 2008).

an è multiplo di Prodotto dei primi maggiori di n / 2 e non superiori a n, ossia per il prodotto dei primi maggiori di n / 2 e non superiori a n. Per esempio, a20 = 184756 è divisibile per 11 • 13 • 17 • 19 = 46189.

 

La tabella seguente mostra i fattoriali oscillanti fino a a20.

n

an

0

1

1

1

2

2

3

6

4

6

5

30

6

20

7

140

8

70

9

630

10

252

11

2772

12

924

13

12012

14

3432

15

51480

16

12870

17

218790

18

48620

19

923780

20

184756

 

an – 1 è primo per n uguale a 3, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 15, 18, 30, 35, 39, 41, 47, 49, 58, 83, 86, 102, 111, 137, 151, 195, 205, 226, 229, 317, 319, 321, 368, 389, 426, 444, 477, 534, 558, 567, 738, 804, 882, 1063, 1173, 1199, 1206, 1315, 1624, 1678, 1804, 2371, 2507, 2541, 2844, 3084, 3291, 3648, 3857, 4315, 5966, 6101, 6130, 7735, 7822, 7873, 7916, 8384, 9174, 9730 e nessun altro valore minore di 10000 (M. Fiorentini, 2017).

 

an + 1 è primo per n uguale a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 15, 24, 27, 31, 38, 44, 45, 49, 67, 76, 92, 99, 119, 124, 133, 136, 139, 144, 168, 171, 185, 265, 291, 332, 368, 428, 501, 631, 680, 689, 696, 765, 789, 890, 1034, 1233, 1384, 1517, 1615, 1634, 1809, 2632, 2762, 3925, 4419, 5108, 5426, 8661, 9743, 9777 e nessun altro valore minore di 10000 (M. Fiorentini, 2017).

Vedi anche

Fattoriali.

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