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Surreali (numeri)

Rappresentazione dei numeri  Vari 

I numeri surreali sono un’estensione dei numeri reali, inventata da John Horton Conway nel 1969, per spiegare alcuni aspetti della teoria dei giochi; Coway infatti dimostrò come le posizioni di certi giochi, in particolare uno chimato “Hackenbush” corrispondano a numeri surreali e come da tale corrispondenza si possano ricavare strategie vincenti.

 

Inizialmente Conway li chiamò semplicemente “numeri”, ma nel 1974 Donald E. Knuth scrisse Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness. (Numeri surreali: come due studenti si diedero alla matematica pura e trovarono la felicità perfetta), un racconto sotto forma di dialogo, nel quale utilizzò il termine “surreali” per questi numeri. Conway trovò il termine appropriato e lo adottò dal 1976, nel suo libro On Numbers and Games sulla teoria dei giochi.

 

I numeri surreali comprendono, oltre ai numeri reali, infiniti, di infiniti ordini diversi, tutti maggiori in valore assoluto di qualsiasi numero reale, e infinitesimi, sempre di infiniti ordini diversi, tutti minori in valore assoluto di qualsiasi numero reale. Ogni numero reale va considerato circondato da un’infinità di infinitesimi, che lo separano dal numero reale “più vicino”.

 

Formalmente la definizione di un numero surreale si ottiene tramite due insiemi, destro e sinistro, di numeri surreali definiti in precedenza, tali che il numero sia maggiore di tutti i numeri dell’insieme sinistro e minore di tutti quelli dell’insieme destro.

Un numero surreale si indica quindi con una coppia di insiemi come: { S | D }; gli insiemi vuoti si indicano con { }, e se l’insieme destro o sinistro sono vuoti possono anche semplicemente essere omessi.

Conway definì i numeri surreali tramite due assiomi:

  • una una coppia di insiemi { S | D } definisce un numero surreale se e solo se S e D non hanno elementi in comune e ogni elemento di S è minore di ogni elemento di D;

  • dati due numeri surreali x = { XS | XD }e y = { YS | YD }, si dice che xy se e solo se ogni elemento di XS è minore di y e ogni elemento di YD è maggiore di x.

Il primo assioma amplia progressivamente l’insieme dei numeri definiti, il secondo definisce una relazione d’ordine totale ≤, che si amplia di pari passo.

Si vede facilmente che la definizione della relazione d’ordine è corretta, perché gode della proprietà transitiva: se xy e yz, allora xz. La relazione è totale, perché dati due numeri surreali x e y è sempre possibile stabilire se xy o yx.

Formalmente x = y se xy e yx.

 

Due coppie di insiemi diversi possono definire lo stesso numero: è possibile che { S | D } = { S’ | D’ }, anche se S è diverso da S’ e D è diverso da D’. Questo fatto non deve stupire, perché qualcosa di simile accade con i numeri razionali1 / 22 / 4 indicano lo stesso numero.

 

I numeri surreali si costruiscono progressivamente, sfruttando insiemi dei numeri già costruiti. Inizialmente non esiste alcun numero, quindi nessun insieme non vuoto e il primo numero surreale sarà definito come { { } | { } } = { | } corrisponde al numero (reale) zero. Si possono quindi costruire i numeri:

{ 0 | }, corrispondente a 1;

{ | 0 }, corrispondente a –1;

{ 1 | }, corrispondente a 2;

{ | –1 }, corrispondente a –2;

{ 2 | }, corrispondente a 3;

{ | –2 }, corrispondente a –3;

Costruiti in questo modo gli interi, si possono costruire i numeri razionali che hanno potenze di 2 a denominatore; per esempio:

Rappresentazione di 1 / 2 come numero surreale;

Rappresentazione di 1 / 4 come numero surreale;

Rappresentazione di 3 / 4 come numero surreale.

Utilizzando insiemi infiniti di razionali con denominatori uguali a potenze di 2 si possono definire i restanti numeri razionali; per esempio, per definire 1 / 3 si mettono a sinistra quelli minori e a destra quelli maggiori: Rappresentazione di 1 / 3 come numero surreale.

Dopo infiniti passi di questo genere saranno disponibili tutti i numeri razionali e con essi si potranno definire i reali irrazionali.

L’interpretazione informale di { 1 | }, potrebbe essere “il numero immediatamente dopo 1”, quella di { | –1 } “il numero immediatamente prima di –1” e quella di Rappresentazione di 1 / 4 come numero surreale “il numero tra 0 e 1 / 2”, ma bisogna stere molto attenti nel non lasciarsi ingannare: le definizioni sono formali e precise, 2 non è il minimo numero reale maggiore di 1 e tra 0 e 1 / 2 vi sono infiniti numeri, razionali e non.

 

Si definiscono poi due numeri particolari: { 1, 2, 3, 4, … | } = ω e Rappresentazione di ε come numero surreale; ω è un numero maggiore di tutti gli interi (il minimo numero surreale infinito) e ε è un numero maggiore di zero, ma minore di tutti i numeri razionali (il massimo infinitesimo). Con questi si possono poi definire gerarchie di infiniti e infinitesimi.

 

I numeri surreali costituiscono un insieme ordinato e su di essi si definiscono le quattro operazioni, come sui reali.

In particolare:

  • la negazione è definita come –{ S | D } = { –S | –D }, dove negare un insieme significa negare tutti gli elementi dell’insieme;

  • l’addizione tra x = { XS | XD }e y = { YS | YD } è definita come { XS + y, YS + x | XD + y, YD + x }, dove X + y è definita come l’insieme ottenuto sommando y a tutti gli elementi di X, ovvero come la coppia dei due insiemi costruiti sommando coppie di numeri che stanno a sinistra nelle definizioni di x e y e coppie che stanno a destra, in tutte le combinazioni;

  • la sottrazione è definita come l’addizione del primo numero con la negazione del secondo;

  • la moltiplicazione tra x = { XS | XD }e y = { YS | YD } è definita come { XSy + YSxXSYS, XDy + YDxXDYD | XSy + YDxXSYD, XDy + YSxXDYS }, dove Xy è definita come l’insieme ottenuto moltiplicando y per tutti gli elementi di X, ovvero come la coppia dei due insiemi costruiti moltiplicando coppie di numeri che stanno a sinistra nelle definizioni di x e y e coppie che stanno a destra, in tutte le combinazioni, collocando poi ogni coppia dalla parte corretta;

  • il calcolo del reciproco di x è definito per x diverso da 0 come y = 1 / x, se y è tale che xy = 1, prima considerando solo valori positivi degli insiemi che definiscono x, poi estendendo la definizione ai negativi:

  • la divisione è definita come la moltiplicazione per il reciproco.

Tutte queste definizioni sono implicitamente ricorsive; ogni volta che di definisce un nuovo numero surreale, di deve immaginare di allargare le definizioni delle operazioni in modo da comprenderlo; le definizioni (considerate nell’ordine mostrato) sono corrette perché coinvolgono solo numeri surreali e operazioni definite in precedenza.

Si può dimostrare che queste definizioni sono coerenti e che l’aritmetica dei numeri surreali ha tutte le proprietà dell’aritmetica reale. Si può in particolare dimostrare che l’inverso di ω è (non sorprendentemente) ε.

A partire dalle quattro operazioni si possono poi definire tutte le consuete funzioni sui reali.

 

I numeri surreali costituiscono un campo ordinato, anzi, il massimo campo ordinato: qualsiasi altro campo ordinato è contenuto in essi.

Tra i numeri surreali però non è sempre vero che un sottoinsieme ha un minimo elemento superiore o un massimo elemento inferiore, come invece accade per i reali. In altri termini, non è detto che dato un insieme S di numeri surreali esista sempre un numero x non minore di tutti gli elementi di S e tale che ogni numero minore di x non abbia la stessa proprietà. Per esempio, considerando il sottoinsieme ℝ dei numeri reali minori di zero, tra i reali zero è maggiore di tutti gli elementi di ℝ e non esiste numero reale inferiore con la stessa proprietà, ma tra i surreali vi è un’infinita sequenza di infinitesimi (negativi) come –ε, –2ε, –ε2 tutti maggiori degli elementi di ℝ e non esiste un minimo tra essi.

 

Nella costruzione di Conway ogni numero surreale x corrisponde a una posizione del gioco, nella quale i due insiemi che lo definiscono corrispondono agli insiemi delle mosse possibili per i due giocatori, che chiameremo D (che ha a disposizione le mosse indicate dall’insieme di destra) e S (che ha a disposizione le mosse indicate dall’insieme di sinistra), mentre il valore indica chi vincerà:

  • se x > 0, vince S;

  • se x ≥ 0, vince S, se D muove per primo, altrimenti vince D;

  • se x < 0, vince D;

  • se x ≤ 0, vince D, se S muove per primo, altrimenti vince S;

  • se x = 0 chi muove per primo perde.

Trattare il caso in cui chi muove per primo vince richiede un’estensione, nella quale si rinuncia alla condizione che ogni elemento dell’insieme di sinistra sia minore di ogni elemento dell’insieme di destra e quindi al requisito che la relazione d’ordine sia totale.

Bibliografia

  • Berlekamp, Elwyn R.;  Conway, John Horton;  Guy, Richard K.;  Winning Ways for Your Mathematical Plays, Londra, Academic Press, Vol. 1: Games in General, 1982.
  • Conway, John Horton;  On Numbers And Games, Natick, A.K. Peters, II ediz., 2001.
  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

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