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Bell (numeri di)

Matematica combinatoria  Sequenze 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Partizioni di insiemi

I numeri di Bell devono il nome al matematico scozzese Eric Temple Bell (Aberdeen, 7/2/1883 - Watsonville, USA, 21/12/1960), che fu il primo a studiarli.

 

L’n-esimo numero di Bell bn è il numero di modi in cui n oggetti possono essere suddivisi tra sottoinsiemi disgiunti e non vuoti.

Per esempio, il quarto numero di Bell è 15, perché 4 oggetti possono essere suddivisi in sottoinsiemi non vuoti in 15 modi differenti:

  • { { 1, 2, 3, 4 } };

  • { { 1, 2, 3 }, { 4 } };

  • { { 1, 2, 4 }, { 3 } };

  • { { 1, 3, 4 }, { 2 } };

  • { { 2, 3, 4 }, { 1 } };

  • { { 1, 2 }, { 3, 4 } };

  • { { 1, 3 }, { 2, 4 } };

  • { { 1, 4 }, { 2, 3 } };

  • { { 1, 2 }, { 3 }, { 4 } };

  • { { 1, 3 }, { 2 }, { 4 } };

  • { { 1, 4 }, { 2 }, { 3 } };

  • { { 2, 3 }, { 1 }, { 4 } };

  • { { 2, 4 }, { 1 }, { 3 } };

  • { { 3, 4 }, { 1 }, { 2 } };

  • { { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 } }.

 

Analogamente il numero di modi per aggregare n persone in partiti distinti è l’n-esimo numero di Bell.

 

Un intero con n fattori primi distinti può essere scomposto come prodotto di fattori primi tra loro in bn modi diversi, ignorando l’ordine dei fattori. Per esempio, 30 ha 3 fattori primi e può essere scomposto come 1 • 30, 2 • 15, 3 • 10, 5 • 6, 2 • 3 • 5.

 

Gli interi da 1 a n possono essere suddivisi in gruppi in modo che nessun gruppo contenga due numeri consecutivi in bn - 1 modi. Per esempio, con n = 4 ci sono 5 modi:

  • { { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 4 } },

  • { { 1, 3 }, { 2 }, { 4 } },

  • { { 1, 3 }, { 2, 4 } },

  • { { 1, 4 }, { 2 }, { 3 } },

  • { { 1 }, { 2, 4 }, { 3 } }.

Più in generale gli interi da 1 a n possono essere suddivisi in gruppi in modo che nessun gruppo contenga due numeri con differenza minore o uguale a k in bnk modi.

 

Il numero di matrici simmetriche n × n positive semidefinite contenenti solo 0 e 1 è bn + 1.

 

Il numero di possibili schemi di rima per una poesia con n versi è bn. Per esempio, con 4 versi vi sono 15 possibili schemi di rima: aaaa, aaab, aaba, aabb, aabc, abaa, abab, abac, abba, abbb, abbc, abca, abcb, abcc, abcd.

Se non si permettono rime alternate, cioè rime tra versi separati da altri con rima differente, il numero di schemi è l’n-esimo numero di Catalan; con 4 versi le possibilità scendono a 14.

 

Fu davvero Bell il primo a studiarli? Certamente fu il primo ad affrontarli in modo sistematico, ma alcune applicazioni a casi particolari erano note da tempo.

Per esempio, i 52 schemi di rima di una strofa di 5 versi erano già noti in Giappone intorno all’anno 1000 e avevano altrettanti nomi diversi. Il libro Storia di Genjii, il principe splendente (Torino, Einaudi, 1969), della scrittrice Murasaki (978 - 1031) è formato da 54 capitoli, ciascuno dei quali, tranne il primo e l’ultimo, contiene come intestazione uno dei differenti schemi, rappresentato come gruppo di 5 bastoncini d’incenso di colori diversi.

 

L’n-esimo numero di Bell è la somma dei numeri di Stirling di seconda specie Numero di Stirling di seconda specie S(n, k) per tutti i possibili valori di k, vale a dire Formula per il numero di Bell b(n). Più in generale, Formula per il numero di Bell b(n + k).

 

I numeri di Bell si possono ricavare dai polinomi di Bell, perché bn = bn(1).

 

Altre formule per bn:

Formula per il calcolo dei numeri di Bell, vale a dire che si può calcolare bn espandendo la potenza del binomio (b + 1)n – 1, poi interpretando i vari bk come se fossero bk;

Formula per il calcolo dei numeri di Bell, dove !n è il subfattoriale di n;

Formula per il calcolo dei numeri di Bell(formula di Comtet, 1974);

Formula per il calcolo dei numeri di Bell(Cesàro 1885).

 

Alcune formule che coinvolgono numeri di Bell:

Formula che coinvolge i numeri di Bell, per 0 ≤ mn (Mark Shattuck, 2014) e in particolare Formula che coinvolge i numeri di Bell e Formula che coinvolge i numeri di Bell;

Formula che coinvolge i numeri di Bell, per n > 1 (Mark Shattuck, 2014).

 

Dalla (formula di Dobinski, Formula di Dobinski, Lovász nel 1993 dedusse l’approssimazione asintotica Approssimazione asintotica per i numeri di Bell, dove λ(n) è la soluzione dell’equazione Equazione per il calcolo di lambda(n), uguale a Soluzione dell'equazione per il calcolo di lambda(n), dove W(n) è la funzione di Lambert.

Altre formule asintotiche sono:

Approssimazione asintotica per i numeri di Bell (de Bruijn, 1958);

Approssimazione asintotica per i numeri di Bell (Odlyzko 1995), dove W(n) è la funzione di Lambert.

 

Valgono le diseguaglianze:

Diseguaglianza per i numeri di Bell;

Diseguaglianza per i numeri di Bell, per ε positivo piccolo a piacere e n sufficientemente grande;

2bn < bn + 1 < (n + 1)bn;

Diseguaglianza per i numeri di Bell (Sadek Bouroubi, 2007);

Diseguaglianza per i numeri di Bell (Sadek Bouroubi, 2007);

Diseguaglianza per i numeri di Bell (K. Engel, 1994);

Diseguaglianza per i numeri di Bell (Sadek Bouroubi, 2007);

Formula che coinvolge i numeri di Bell (Yi Wang e Bao-Xuan Zhu, 2013).

 

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose la congettura che Formula che coinvolge i numeri di Bell sia strettamente decrescente.

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che ogni numero di Bell maggiore di 1 abbia un fattore primo primitivo, ossia sia divisibile per un primo che non divide nessuno dei precedenti.

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p > 5 esista un primo q ≤ (p – 1) / 2 tale che bq mod p sia una radice primitiva di p.

 

Nel 2014 Romeo Meštrović avanzò la congettura che bn – 1 ≡ 1 mod n per infiniti valori di n.

 

bn è il valore della derivata n-esima di eex – 1 calcolata per x = 0.

 

Se p è primo, Congruenza dei numeri di Bell (congruenza di Touchard); e in particolare bp + nbn + bn + 1 mod p e bp ≡ 2 mod p. Vi sono però numeri composti che soddisfano quest’ultima congruenza e sono quindi chiamati pseudoprimi di Bell.

 

G.T. Williams dimostrò nel 1945 che per ogni primo p i resti ottenuti dividendo i numeri di Bell per p sono periodici e il periodo divide Multiplo del periodo dei resti dei numeri di Bell. Di fatto il periodo è Periodo dei resti dei numeri di Bell in tutti i casi noti, ovvero tutti i primi minori di 126, e i primi 137, 149, 157, 163, 167 e 173 ed è stata proposta la congettura che tale proprietà valga per tutti i primi.

 

bn + 24bn mod 8 e dato che nessuno dei numeri da b0 a b23 è multiplo di 8, nessun numero di Bell è multiplo di 8 (Tewodros Amdeberhan, Valerio De Angelis e Victor H. Moll).

 

I numeri di Bell primi noti sono pochissimi: b2 = 2, b3 = 5, b7 = 877, b13 = 26644437, b42 = 35742549198872617291353508656626642567, b55 = 359334085968622831041960188598043661065388726959079837, b2841 (quest’ultimo dimostrato primo da I. Larrosa Canestro nel 2004, a coronamento di 17 mesi di calcoli) e nessun altro con indice inferiore a 6000. Non si sa se siano infiniti o meno.

 

Andrew Lenard dimostrò che se si dispongono i numeri di Bell da b0 a b2n lungo diagonali in una matrice quadrata di ordine n + 1, il determinante della matrice è il prodotto dei fattoriali da 1 a n, vale a dire l’n-esimo superfattoriale.

In altri termini, Matrice di numeri di Bell; per esempio, nel caso n = 3 abbiamo Matrice di numeri di Bell.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri di Bell, ovvero Funzione generatrice dei numeri di Bell.

 

La funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bell, ovvero Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bell e quindi Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bell.

 

Si possono calcolare i numeri di Bell con un triangolo, simile al triangolo di Tartaglia, riportato di seguito.

1

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

2

3

5

 

 

 

 

5

7

10

15

 

 

 

15

20

27

37

52

 

 

52

67

87

114

151

203

 

203

255

322

409

523

674

877

Si inizia con 1, poi si procede ad aggiungere numeri con le seguenti due regole:

  • il primo numero di ogni riga è l’ultimo della precedente;

  • ogni numero è la somma di quello alla sua sinistra e di quello sopra quest'ultimo (p. es., 10 è la somma di 7 e 3).

L’ultimo numero della riga n-esima è l’n-esimo numero di Bell.

Questo metodo permette di dimostrare facilmente che un numero di Bell ogni 3 è pari, mentre gli altri sono dispari.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Bell fino a b20.

n

bn

0

1

1

1

2

2

3

5

4

15

5

52

6

203

7

877

8

4140

9

21147

10

115975

11

678570

12

4213597

13

27644437

14

190899322

15

1382958545

16

10480142147

17

82864869804

18

682076806159

19

5832742205057

20

51724158235372

Tabelle numeriche

I numeri di Bell fino a b100.

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 121, settembre 1978, pag. 108 – 112.
  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 124, dicembre 1978, pag. 127.
  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 125, gennaio 1979, pag. 103.
  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.

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