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Bieberbach (congettura di)

Analisi  Congetture 

La congettura di Bieberbach riguarda l’insieme S delle funzioni olomorfe (ossia differenziabili infinite volte) e iniettive (cioè che assumono valori differenti per differenti valori degli argomenti), definite all’interno del disco di raggio 1 centrato sull’origine (esclusa la circonferenza).

La congettura afferma che se f(z) appartiene a S ed è esprimibile in serie di Taylor come Espansione in serie di Taylor di f(z) con a0 = 0 e a1 = 1, allora:

  • |an| ≤ n;

  • se |an| = n, allora f è una rotazione della funzione di Koebe, ossia è una funzione esprimibile come Rotazione della funzione di Koebe, con |α| = 1.

 

Per qualsiasi funzione appartenente a S:

  • l’immagine del disco di raggio 1 centrato sull’origine contiene almeno il disco di raggio 1 / 4 centrato sull’origine, privato della circonferenza (Koebe);

  • |f(z)| ≤ (1 + |z|) / (1 – |z|)^2, per |z| ≤ 1;

  • |f(z)| ≤ |z| / (1 – |z|)^3, per |z| ≤ 1.

 

La congettura fu inizialmente dimostrata per i primi termini:

  • da Bieberbach stesso per n = 2 nel 1916;

  • da K. Löwner per n = 3 nel 1923;

  • da P.R. Garabedian e M. Schiffer per n = 4 nel 1955;

  • da R.N. Pederson nel 1968 e indipendentemente M. Ozawa nel 1969 per n = 6;

  • da R.N. Pederson e M. Schiffer per n = 5 nel 1972;

 

Parallelamente furono dimostrati limiti via via migliori per tutti i coefficienti:

  • J.E. Littlewood dimostrò nel 1925 che |an| ≤ en;

  • W.K. Hyman dimostrò nel 1955 che limite di |a(n)| / n per n tendente a infinito minore o uguale a 1;

  • C.H. FitzGerald dimostrò nel 1972 che |a(n)| ≤ sqrt(7 / 6) * n.

 

Nel 1932 Littlewood e Paley dimostrarono che per una funzione dispari (contenente cioè solo i termini di indice dispari dello sviluppo in serie) vale |an| < A per una costante A, che i due matamatici supposero essere 1. Se questo fosse stato vero, la congettura di Bieberbach sarebbe seguita, ma nel 1933 M. Fekete e G. Szegö dimostrarono che |a(5)| = 1 / 2 + 1 / e^(2 / 3).

 

Nel 1985 finalmente Louis de Branges dimostrò il caso generale.

Per la precisione, de Branges dimostrò la congettura di Milin, dalla quale segue la congettura di Robertson, dalla quale segue la congettura di Bieberbach.

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