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Primi simmetrici

Teoria dei numeri 

Due numeri primi dispari p e q si dicono simmetrici se |pq| = MCD(p – 1, q – 1).

Per esempio, 13 e 17 sono simmetrici, perché |13 – 17| = MCD(16, 12) = 4.

Per estensione, si chiamano “simmetrici” i primi che appartengono ad almeno una coppia di primi simmetrici e “asimmetrici” i restanti.

 

Le coppie di primi simmetrici minori di 100 sono:

3, 5;

5, 7;

7, 13;

11, 13;

13, 17;

13, 19;

17, 19;

19, 37;

29, 31;

29, 43;

31, 37;

31, 41;

31, 61;

37, 41;

37, 43;

37, 73;

41, 43;

41, 61;

53, 79;

59, 61;

61, 67;

61, 71;

61, 73;

67, 73;

67, 89;

71, 73;

73, 79;

73, 97;

89, 97.

 

I primi simmetrici non sono una semplice curiosità, perché la loro definizione è legata alla teoria dei numeri: una delle dimostrazioni della legge di reciprocità quadratica (v. residui quadratici) prevede il conteggio dei punti nel rettangolo con i lati paralleli agli assi, un vertice nell’origine e l’altro nel punto di coordinate (p / 2, q / 2), dove p e q sono primi dispari: il valori dei simboli di Legendre Simbolo di Legendre (p | q)Simbolo di Legendre (q | p) dipendono dal conteggio dei punti con coordinate intere contenuti nel rettangolo, sopra e sotto la diagonale principale, uguali rispettivamente a Formula per il numero di punti sopra la diagonale e Formula per il numero di punti sotto la diagonale.

Per esempio, la figura seguente mostra il rettangolo, nel caso p = 17 e q = 13; il rettangolo contiene Numero di punti sopra la diagonale punti sopra la diagonale e Numero di punti sotto la diagonale punti sotto.

 

Rettangolo con vertici nell'origine e nel punto (17 / 2, 13 / 2)

 

 

Nel 1995 Peter Fletcher, William Lindgren e Carl Pomerance dimostrarono che:

  • due primi dispari p e q formano una coppia simmetrica se e solo se i due numeri di punti sono uguali, ossia se Condizione necessaria e sufficiente perché p e q formino una coppia simmetrica;

  • due primi dispari p e q formano una coppia simmetrica se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché p e q formino una coppia simmetrica, per n da 1 a (q – 1) / 2;

  • due primi dispari p e q formano una coppia simmetrica se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché p e q formino una coppia simmetrica, per n da 1 a (q – 1) / 2;

  • due primi dispari p e q formano una coppia simmetrica se e solo se Condizione necessaria e sufficiente perché p e q formino una coppia simmetrica, per n da 1 a (q – 1) / 2;

  • Relazione soddisfatta dai primi di una coppia simmetrica;

  • la somma dei reciproci dei primi simmetrici (analoga alla costante di Brun) è finita.

  • esistono infiniti primi asimmetrici;

  • per n abbastanza grande il numero di primi simmetrici minori di n non supera n / log(n)^1.027.

 

Due primi gemelli formano una coppia di primi simmetrici.

 

Se p e q = 2p – 1 sono primi, p e q formano una coppia di primi simmetrici.

 

Si ritiene che i primi simmetrici siano infiniti: dopotutto includono, tra gli altri, i primi gemelli, tuttavia non è stato dimostrato.

 

La tabella seguente mostra il numero di primi simmetrici minori di 10n, per n fino a 9; come si vede i primi simmetrici sono la maggioranza tra i primi, per valori piccoli di n, ma vanno poi diradandosi, seppur lentamente.

n

π(n)

Primi simmetrici minori di n

Rapporto tra primi simmetrici e primi minori di n

10

4

3

0.75

102

25

21

0.85

103

168

142

0.8452380952

104

1229

1062

0.8641171684

105

9592

8138

0.8484153461

106

78498

65397

0.8331040281

107

664579

546420

0.8222047341

108

5761455

4678560

0.8120448741

109

50847534

40859450

0.8035679764

 

Vedi anche

Primi (numeri).

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