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Primi armonici

Teoria dei numeri 

A. Eswarathasan ed E. Levin dimostrarono nel 1991 che ogni numero primo p maggiore di 3 divide il numeratore di Hp – 1, Hp(p – 1) e H(p – 1)(p + 1) e definirono “armonici” i numeri primi p che non dividono alcun altro numeratore di numeri armonici (I).

I due matematici supposero che i primi armonici siano infiniti e che ogni primo divida solo un numero finito di numeri armonici; per ora però non è stato dimostrato che siano infiniti i primi armonici né quelli non armonici.

 

Nel 1994 David W. Boyd dimostrò che un primo è armonico se e solo non esistono numeri armonici Hn tali che Hn ≡ 0 mod p o Hn ≡ –m mod p, per n da 1 a p – 2, dove m è il cosiddetto “quoziente di Wolstenholme”, ovvero il numero m tale che Hp – 1mp2 mod p3.

 

Boyd verificò che tutti i primi minori di 550, con la possibile eccezione di 83, 127 e 397, dividono un numero finito di numeri armonici.

 

Boyd suppose che il numero di primi armonici minori di n tenda a 1 / e dei primi nello stesso intervallo.

 

I primi armonici minori di 1000 sono: 5, 13, 17, 23, 41, 67, 73, 79, 107, 113, 139, 149, 157, 179, 191, 193, 223, 239, 241, 251, 263, 277, 281, 293, 307, 311, 317, 331, 337, 349, 431, 443, 449, 461, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 541, 547, 557, 563, 569, 593, 619, 653, 683, 691, 709, 757, 769, 787, 853, 859, 881, 883, 967, 977.

 

Qui trovate i primi armonici minori di 105.

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