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Primi regolari armonici

Teoria dei numeri 

Un numero primo p si dice “primo regolare armonico” se non divide i numeratori dei numeri armonici (I) da H1 a Hp – 2.

I primi che invece dividono uno di tali numeratori sono detti “primi itregolari armonici”.

La definizione ricalca quella dei primi regolari ed Eulero-regolari, ma la loro importanza è minore, perché non hanno legami con l’ultimo teorema di Fermat.

 

Se p è primo, il numeratore di Hp – 1 è divisibile per p2.

 

Dato che per p primo Hpn – 1Hn mod p, se p è irregolare armonico, divide un numero armonico con indice minore di (p – 1) / 2; il minimo indice non può essere (p – 1) / 2, perché allora p sarebbe un primo di Wieferich e dividerebbe il numeratore di Numero armonico con indice uguale al massimo intero non superiore a p / 4.

 

Tutti i primi irregolari armonici sono primi non armonici.

 

Si suppone che sia i primi regolari armonici, sia quelli irregolari armonici siano infiniti, ma non è stato dimostrato.

La tabella seguente mostra i primi irregolari armonici fino a 1000 e gli indici dei numeri armonici fino a Hp – 2 che ciascuno di essi divide.

Primo

Indici

11

3, 7

29

13, 15

37

17, 19

43

13, 29

53

22, 30

61

10, 50

97

11, 85

109

25, 31, 44, 64, 77, 83

137

5, 131

173

71, 101

199

38, 160

227

22, 51,175, 204

257

66, 190

269

33, 235

271

58, 212

313

105, 207

347

63, 283

353

119, 233

379

146, 232

397

35, 361

401

76, 324

409

120, 288

421

202, 218

433

116, 316

439

213, 225

509

12, 496

521

27, 493

577

24, 552

599

71, 527

601

194, 232, 368, 406

617

99, 517

641

192, 233, 407, 448

643

218, 424

647

95, 551

659

103, 555

677

75, 601

733

320, 412

761

8, 23, 370, 390, 737, 752

773

139, 633

809

63, 745

821

392, 428

827

146, 680

839

381, 457

863

11, 851

911

47, 863

919

13, 905

929

171, 757

937

174, 762

941

53, 160, 780, 887

947

272, 318, 628, 674

953

212, 740

971

260, 437, 533, 710

Qui trovate i primi irregolari armonici fino a 107.

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