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Primi padri (I)

Teoria dei numeri 

Sono chiamati “primi padri di ordine n” i primi p, tali che (p – 2 * n) / (2 * n + 1) sia un numero primo, per n > 0. Per esempio, 19 è un primo padre di ordine 2, perché (19 – 4) / 5 = 3 è primo.

Alternativamente si possono defnire i primi padre di ordine n come i primi della forma q(2n + 1) + 2n, con q primo, ossia della forma n(2q + 2) + q, quindi il teorema di Dirichlet ci assicura che sono infiniti per ogni q fissato.

Non è stato però dimostrato che siano infiniti per ogni ordine n.

 

La ricerca dei primi padre può essere semplificata perché p è padre di ordine n se p + 1 = (q + 1)(2n + 1), con q primo, pertanto p è primo di ordine ((p + 1) / (q + 1) – 1) / 2 se un divisore pari di p + 1, minore di p + 1 e divisibile per la massima potenza di 2 che divide p + 1, è uguale a un primo più uno. Per esempio, per p = 59, p + 1 = 60, la massima potenza di 2 che divide 60 è 4 e i divisori di 60 multipli di 4 sono 4, 12 e 20, 4 – 1 = 3, 12 – 1 = 11 e 20 – 1 = 19 sono tutti primi e 59 è padre di ordine (60 / 4 – 1) / 2 = 7(60 / 12 – 1) / 2 = 2 e (60 / 20 – 1) / 2 = 1.

 

La tabella seguente mostra gli ordini dei primi padre fino a 100.

Primo

Ordini

11

1

17

2

19

1

23

3

29

2

41

2, 6

43

1

53

2, 8

59

1, 5, 9

67

1

71

3, 11

83

1, 5

89

2, 8, 14

97

6

 

I primi di Mersenne non sono primi padre, perché l’unico un divisore pari di p + 1 e divisibile per la massima potenza di 2 che divide p + 1 è p + 1 stesso, come a dire che p + 1 non ha divisori dispari maggiori di 1. Oltre a questi, i primi che non sono padre sono comunque piuttosto numerosi: ve ne sono 7598004 minori di 109 (M. Fiorentini, 2017).

I primi non padre inferiori a 1000 sono: 3, 5, 7, 13, 31, 37, 47, 61, 73, 79, 109, 127, 157, 191, 193, 229, 241, 271, 277, 313, 337, 367, 373, 397, 409, 421, 457, 463, 541, 577, 613, 661, 673, 709, 733, 751, 757, 829, 877, 997.

Qui trovate i primi non padre inferiori a 107.

 

Se p e e p2p – 1 sono primi, quest’ultimo è padre di ordine p; per esempio, 112 – 11 – 1 = 109 è un primo padre di ordine 11.

 

La tabella seguente mostra i minimi primi padre per gli ordini fino a 20.

Ordine

Minimo primo

1

11

2

19

3

41

4

53

5

43

6

103

7

59

8

67

9

113

10

83

11

137

12

149

13

107

14

173

15

433

16

131

17

139

18

443

19

233

20

163

 

La tabella seguente riporta i minimi primi padri di esattamente n ordini diversi, per n fino a 20 (M. Fiorentini, 2017).

n

Minimo primo

Ordini

1

11

1

2

41

1, 3

3

59

1, 2, 7

4

179

1, 4, 7, 22

5

269

1, 2, 4, 7, 22

6

419

1, 2, 3, 10, 17, 52

7

1709

1, 7, 9, 22, 28, 47, 142

8

1889

3, 10, 17, 22, 31, 52, 67, 157

9

1259

1, 2, 3, 4, 7, 10, 31, 52, 157

10

5669

1, 3, 10, 31, 52, 67, 94, 157, 202, 472

11

3779

1, 4, 7, 10, 13, 17, 22, 31, 94, 157, 472

12

8819

1, 3, 7, 10, 17, 24, 31, 52, 73, 220, 367, 1102

13

11969

1, 2, 3, 7, 10, 52, 66, 142, 157, 199, 332, 427, 997

14

21419

2, 7, 8, 10, 25, 42, 59, 76, 127, 157, 178, 535, 892, 2677

15

13859

3, 5, 10, 16, 22, 27, 38, 49, 52, 82, 115, 157, 346, 577, 1732

16

28349

2, 3, 7, 13, 17, 31, 40, 52, 94, 157, 262, 337, 472, 787, 1012, 2362

17

20789

2, 3, 4, 5, 13, 17, 22, 38, 52, 94, 115, 192, 247, 346, 577, 742, 1732

18

79379

1, 4, 10, 13, 17, 24, 31, 67, 94, 157, 220, 283, 367, 472, 661, 1984, 3307, 9922

19

40949

1, 3, 4, 7, 10, 12, 19, 45, 52, 58, 87, 112, 136, 227, 487, 682, 1137, 1462, 3412

20

41579

1, 3, 5, 10, 16, 17, 31, 49, 67, 82, 115, 148, 157, 192, 247, 346, 472, 1039, 1732, 5197

 

Vedi anche

Primi (numeri).

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