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Bateman – Grosswald (costanti di)

Teoria dei numeri 

Un numero naturale si dice “n-potente” (in inglese “n-full”, intraducibile, letteralmente: “n-pieno”, ma non rende l’idea) se tutti i primi che compaiono nella sua scomposizione hanno almeno esponente n. I numeri potenti sono quindi 2-potenti.

 

Bateman e Grosswald dimostrarono che i numeri 2-potenti minori di n tendono a Formula per il limite di numeri potenti minori di n, più termini che crescono non più rapidamente di Radice sesta di n, e che i numeri 3-potenti minori di n tendono a Formula per il limite di numeri 3-potenti minori di n, più termini che crescono non più rapidamente di Radice ottava di n.

I vari cm,n che compaiono in queste formule sono detti sono “costanti di Bateman – Grosswald” e le ritroviamo in un’altra formula: definendo h(n), come il minimo esponente di un numero primo nella sua scomposizione, come nella definizione della costante di Niven: Formula per la somma dei minimi esponenti di un numero primo nella scomposizione di n, dove la somma prosegue con termini di ordine inferiore.

 

Le costanti sono date da prodotti che coinvolgono i numeri primi:

  • Formula per il calcolo di c(1, n) e in particolare Formula per il calcolo di c(1, 2), c1,3 ≈ –5.8726188208, c1,4 ≈ –16.9787814834;

  • Formula per il calcolo di c(2, 3).

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