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Primi invertibili

Rappresentazione dei numeri 

Si chimano “invertibili” i numeri primi che rimangono tali se letti invertendo l’ordine delle cifre, come 107, che diventa 701. Alcuni Autori preferiscono escludere i primi palindromi.

Chiaramente non possono iniziare né con una cifra pari né con 5.

 

I primi invertibili minori di 1000 (escludendo quelli palindromi) sono: 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389, 701, 709, 733, 739, 743, 751, 761, 769, 907, 937, 941, 953, 967, 971, 983, 991.

Qui trovate i primi invertibili non palindromi fino a 107 (M. Fiorentini, 2017).

 

La tabella seguente riporta le minime sequenze di n primi invertibili consecutivi, per n fino a 12.

n

Minima sequenza

Autore

1

2

 

2

2, 3

 

3

2, 3, 5

 

4

2, 3, 5, 7

 

5

2, 3, 5, 7, 11

 

6

2, 3, 5, 7, 11, 13

 

7

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

 

8

727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769

 

9

1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249

Carlos Rivera, 1998

10

1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259

Carlos Rivera, 1998

11

1477271183, 1477271249, 1477271251, 1477271269, 1477271291, 1477271311, 1477271317, 1477271351, 1477271357, 1477271381, 1477271387

Jud McCranie, 1999

12

9387802769, 9387802807, 9387802817, 9387802861, 9387802867, 9387802873, 9387802909, 9387802937, 9387802939, 9387802973, 9387802987, 9387803003

Jud McCranie, 1999

13

15423094826093, 15423094826147, 15423094826149, 15423094826197, 15423094826213, 15423094826257, 15423094826267, 15423094826287, 15423094826339, 15423094826341, 15423094826351, 15423094826369, 15423094826389

Giovanni Resta, 2011

 

Le massime coppie note sono:

  • 101014 + 2888601 • 10504 + 1 e 101014 +1068882 • 10504 + 1 (H. Dubner, 1015 cifre);

  • 102003 + (n – 999999999) • 10997 – 1 e 102003 + (R(n) – 999999999) • 10997 – 1, dove R(n) indica n scritto al contrario, per n uguale a 107671501, 158957701, 168586801, 268720301, 292300601, 318811301, 689715601, 856978001, 996358669 (Jens Kruse Andersen, 2007, 2003 cifre);

  • 103929 – 571624798 • 101960 – 1 e 103929 – 897426175 • 101960 – 1 (Jens Kruse Andersen, 2003, 3929 cifre; da notare che 3929 è a sua volta un primo invertibile);

  • 105013 + 103296 + 101834 + 1 e 105013 + 103179 + 101717 + 1 (Jens Kruse Andersen, 2011, 5014 cifre);

  • 1010006 + 941992101 • 104999 + 1 e 1010006 + 101299149 • 104999 + 1 (Jens Kruse Andersen, 2007, 10007 cifre).

 

La massima coppia nota di primi pandigitali invertibili si deve a H. Dubner ed è costituita da 101006 + 234567890629590 • 10496 + 1 e 101006 + 95926098765432 • 10496 + 1.

 

Si può dimostrare che l’unico caso in cui i primi invertibili p e q di una coppia possono essere legati da una relazione del tipo q = kp ± 1 è quello in cui q = 2p – 1; in tal caso inoltre p deve essere della forma 3(9)n7. L’unica coppia nota di questo genere è quella formata da 37 e 73, se ve ne sono altre, hanno più di 10000 cifre (M. Fiorentini, 2017).

Bibliografia

  • Guy, Richard K.;  Woodrow, Robert E.;  The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History, Washington, Mathematical Association of America, 1994.

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