Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Bruckman (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Paul Bruckman avanzò nel 2009 un’originale congettura: se si definisce un polinomio come Formula per la definizione di P(x), dove gn è il primo inferiore dell’n-esima coppia di primi gemelli, nell’espansione di P(x)k con k > 4 i termini di grado dispari maggiore di 13 hanno coefficiente non nullo. Per k inferiore a 4 non sembra valere un’affermazione analoga, neppure sostituendo 13 con numeri maggiori.

 

La tabella seguente riporta i termini di grado fino a 100 delle prime potenze del polinomio; come si può vedere, nelle potenze fino alla quarta mancano alcuni termini di gradi dispari maggiore di 13, mentre nelle potenze superiori non ne manca nessuno.

n

P(x)n

1

1 + x3 + x5 + x11 + x17 + x29 + x41 + x59 + x71

2

1 + 2x3 + 2x5 + x6 + 2x8 + x10 + 2x11 + 2x14 + 2x16 + 2x17 + 2x20 + 3x22 + 2x28 + 2x29 + 2x32 + 3x34 + 2x40 + 2x41 + 2x44 + 4x46 + 2x52 + 3x58 + 2x59 + 2x62 + 2x64 + 4x70 + 2x71 + 2x74 + 4x76 + 3x82 + 4x88 + 4x100

3

1 + 3x3 + 3x5 + 3x6 + 6x8 + x9 + 3x10 + 6x11 + 3x13 + 6x14 + x15 + 6x16 + 6x17 + 6x19 + 6x20 + 3x21 + 9x22 + 3x23 + 9x25 + 6x27 + 6x28 + 3x29 + 6x31 + 6x32 + 7x33 + 9x34 + 3x35 + 9x37 + 9x39 + 6x40 + 3x41 + 6x43 + 6x44 + 9x45 + 12x46 + 3x47 + 12x49 + 13x51 + 6x52 + 6x55 + 12x57 + 9x58 + 3x59 + 9x61 + 6x62 + 15x63 + 6x64 + 3x65 + 6x67 + 12x69 + 12x70 + 3x71 + 12x73 + 6x74 + 18x75 + 12x76 + 3x77 + 12x79 + 18x81 + 9x82 + 9x85 + 22x87 + 12x88 + 12x91 + 21x93 + 18x99 + 12x100

4

1 + 4x3 + 4x5 + 6x6 + 12x8 + 4x9 + 6x10 + 16x11 + x12 + 12x13 + 16x14 + 4x15 + 18x16 + 16x17 + 4x18 + 24x19 + 17x20 + 12x21 + 30x22 + 12x23 + 12x24 + 36x25 + 8x26 + 24x27 + 30x28 + 4x29 + 24x30 + 24x31 + 22x32 + 28x33 + 30x34 + 12x35 + 28x36 + 36x37 + 20x38 + 36x39 + 30x40 + 4x41 + 36x42 + 24x43 + 35x44 + 36x45 + 36x46 + 12x47 + 36x48 + 48x49 + 32x50 + 52x51 + 36x52 + 52x54 + 24x55 + 38x56 + 48x57 + 30x58 + 4x59 + 48x60 + 36x61 + 56x62 + 60x63 + 30x64 + 12x65 + 60x66 + 24x67 + 59x68 + 48x69 + 36x70 + 4x71 + 48x72 + 48x73 + 68x74 + 72x75 + 48x76 + 12x77 + 72x78 + 48x79 + 74x80 + 72x81 + 42x82 + 72x84 + 36x85 + 76x86 + 88x87 + 42x88 + 88x90 + 48x91 + 96x92 + 84x93 + 24x94 + 84x96 + 100x98 + 72x99 + 24x100

5

1 + 5x3 + 5x5 + 10x6 + 20x8 + 10x9 + 10x10 + 35x11 + 5x12 + 30x13 + 40x14 + 11x15 + 50x16 + 40x17 + 20x18 + 70x19 + 45x20 + 40x21 + 90x22 + 40x23 + 60x24 + 111x25 + 40x26 + 90x27 + 110x28 + 30x29 + 120x30 + 95x31 + 70x32 + 130x33 + 90x34 + 80x35 + 140x36 + 125x37 + 100x38 + 160x39 + 110x40 + 90x41 + 180x42 + 120x43 + 135x44 + 180x45 + 100x46 + 145x47 + 180x48 + 190x49 + 160x50 + 220x51 + 140x52 + 145x53 + 260x54 + 171x55 + 190x56 + 250x57 + 90x58 + 195x59 + 240x60 + 210x61 + 240x62 + 270x63 + 110x64 + 250x65 + 300x66 + 220x67 + 295x68 + 270x69 + 100x70 + 285x71 + 240x72 + 310x73 + 300x74 + 300x75 + 160x76 + 310x77 + 360x78 + 360x79 + 370x80 + 360x81 + 150x82 + 355x83 + 360x84 + 376x85 + 380x86 + 400x87 + 130x88 + 380x89 + 440x90 + 435x91 + 480x92 + 430x93 + 120x94 + 480x95 + 420x96 + 395x97 + 500x98 + 390x99 + 40x100

6

1 + 6x3 + 6x5 + 15x6 + 30x8 + 20x9 + 15x10 + 66x11 + 15x12 + 60x13 + 90x14 + 26x15 + 120x16 + 96x17 + 61x18 + 180x19 + 111x20 + 120x21 + 240x22 + 120x23 + 200x24 + 306x25 + 141x26 + 300x27 + 336x28 + 156x29 + 421x30 + 330x31 + 246x32 + 500x33 + 300x34 + 360x35 + 546x36 + 390x37 + 450x38 + 600x39 + 420x40 + 516x41 + 701x42 + 480x43 + 621x44 + 720x45 + 465x46 + 750x47 + 770x48 + 660x49 + 825x50 + 800x51 + 720x52 + 870x53 + 1056x54 + 786x55 + 996x56 + 1020x57 + 711x58 + 1146x59 + 1136x60 + 900x61 + 1260x62 + 1020x63 + 930x64 + 1380x65 + 1377x66 + 1080x67 + 1545x68 + 1140x69 + 1065x70 + 1686x71 + 1356x72 + 1380x73 + 1701x74 + 1080x75 + 1470x76 + 1740x77 + 1785x78 + 1680x79 + 1950x80 + 1440x81 + 1665x82 + 2130x83 + 2042x84 + 1896x85 + 2196x86 + 1520x87 + 1866x88 + 2280x89 + 2451x90 + 2130x91 + 2580x92 + 1740x93 + 2115x94 + 2880x95 + 2648x96 + 2370x97 + 2940x98 + 1620x99 + 2250x100

7

1 + 7x3 + 7x5 + 21x6 + 42x8 + 35x9 + 21x10 + 112x11 + 35x12 + 105x13 + 182x14 + 56x15 + 252x16 + 217x17 + 147x18 + 420x19 + 259x20 + 316x21 + 588x22 + 322x23 + 560x24 + 777x25 + 427x26 + 875x27 + 924x28 + 574x29 + 1267x30 + 1008x31 + 854x32 + 1617x33 + 1008x34 + 1303x35 + 1862x36 + 1218x37 + 1750x38 + 2037x39 + 1512x40 + 2149x41 + 2387x42 + 1827x43 + 2569x44 + 2597x45 + 2079x46 + 3115x47 + 2870x48 + 2583x49 + 3535x50 + 3010x51 + 3192x52 + 3927x53 + 3752x54 + 3633x55 + 4312x56 + 4137x57 + 3885x58 + 5152x59 + 4592x60 + 4410x61 + 5572x62 + 4592x63 + 5082x64 + 6363x65 + 5439x66 + 5712x67 + 6685x68 + 5649x69 + 6279x70 + 7938x71 + 6132x72 + 7203x73 + 7819x74 + 6027x75 + 8274x76 + 8702x77 + 7455x78 + 9072x79 + 8470x80 + 8085x81 + 9723x82 + 10570x83 + 9254x84 + 10605x85 + 10052x86 + 9394x87 + 11466x88 + 12047x89 + 10997x90 + 12285x91 + 11340x92 + 11382x93 + 13125x94 + 14917x95 + 12656x96 + 14343x97 + 13580x98 + 12446x99 + 15414x100

8

1 + 8x3 + 8x5 + 28x6 + 56x8 + 56x9 + 28x10 + 176x11 + 70x12 + 168x13 + 336x14 + 112x15 + 476x16 + 456x17 + 308x18 + 896x19 + 574x20 + 736x21 + 1344x22 + 784x23 + 1401x24 + 1848x25 + 1156x26 + 2296x27 + 2352x28 + 1744x29 + 3444x30 + 2800x31 + 2682x32 + 4648x33 + 3136x34 + 4152x35 + 5684x36 + 3808x37 + 5896x38 + 6440x39 + 5041x40 + 7624x41 + 7532x42 + 6552x43 + 9310x44 + 8680x45 + 8156x46 + 11368x47 + 9940x48 + 10136x49 + 13252x50 + 11088x51 + 12776x52 + 15176x53 + 13272x54 + 15288x55 + 16814x56 + 15848x57 + 17500x58 + 19888x59 + 18200x60 + 19824x61 + 22408x62 + 19936x63 + 23318x64 + 25592x65 + 22652x66 + 26432x67 + 27734x68 + 25704x69 + 30268x70 + 32096x71 + 28476x72 + 33656x73 + 34412x74 + 30744x75 + 39572x76 + 37584x77 + 35028x78 + 43008x79 + 38838x80 + 40488x81 + 48308x82 + 44800x83 + 45668x84 + 50792x85 + 48048x86 + 50064x87 + 58339x88 + 53816x89 + 55692x90 + 60312x91 + 56428x92 + 61712x93 + 68644x94 + 65576x95 + 67340x96 + 70504x97 + 70056x98 + 72016x99 + 83104x100

9

1 + 9x3 + 9x5 + 36x6 + 72x8 + 84x9 + 36x10 + 261x11 + 126x12 + 252x13 + 576x14 + 210x15 + 828x16 + 891x17 + 588x18 + 1764x19 + 1206x20 + 1548x21 + 2880x22 + 1764x23 + 3201x24 + 4158x25 + 2844x26 + 5545x27 + 5616x28 + 4680x29 + 8652x30 + 7218x31 + 7578x32 + 12264x33 + 8928x34 + 12015x35 + 15876x36 + 11412x37 + 17784x38 + 18984x39 + 15705x40 + 24120x41 + 22596x42 + 21663x43 + 30438x44 + 27217x45 + 28692x46 + 37674x47 + 32676x48 + 36810x49 + 45180x50 + 38733x51 + 47016x52 + 53055x53 + 46872x54 + 58014x55 + 60606x56 + 57921x57 + 69156x58 + 71199x59 + 69720x60 + 79956x61 + 83304x62 + 81048x63 + 94518x64 + 96525x65 + 93492x66 + 109332x67 + 108990x68 + 109371x69 + 126900x70 + 125001x71 + 125244x72 + 143208x73 + 141444x74 + 142074x75 + 166788x76 + 157284x77 + 160524x78 + 186912x79 + 171126x80 + 187863x81 + 210348x82 + 192069x83 + 213108x84 + 227700x85 + 216720x86 + 242364x87 + 257067x88 + 242928x89 + 266868x90 + 278865x91 + 267948x92 + 304197x93 + 310860x94 + 301401x95 + 330540x96 + 334062x97 + 338184x98 + 369808x99 + 379152x100

10

1 + 10x3 + 10x5 + 45x6 + 90x8 + 120x9 + 45x10 + 370x11 + 210x12 + 360x13 + 930x14 + 372x15 + 1350x16 + 1630x17 + 1050x18 + 3240x19 + 2400x20 + 3000x21 + 5805x22 + 3720x23 + 6765x24 + 8892x25 + 6450x26 + 12490x27 + 12690x28 + 11440x29 + 20371x30 + 17460x31 + 19570x32 + 30240x33 + 23490x34 + 32070x35 + 41280x36 + 32040x37 + 49240x38 + 52320x39 + 45837x40 + 69760x41 + 64620x42 + 66150x43 + 91570x44 + 80890x45 + 92070x46 + 115860x47 + 101950x48 + 122580x49 + 142951x50 + 127650x51 + 159660x52 + 172710x53 + 159900x54 + 201852x55 + 204350x56 + 202650x57 + 247590x58 + 243190x59 + 253110x60 + 294120x61 + 292195x62 + 307440x63 + 350190x64 + 348210x65 + 364890x66 + 413640x67 + 407830x68 + 434910x69 + 486072x70 + 475450x71 + 511050x72 + 561600x73 + 554485x74 + 596340x75 + 653310x76 + 636360x77 + 685080x78 + 751680x79 + 720252x80 + 802230x81 + 855270x82 + 815250x83 + 924510x84 + 954072x85 + 938990x86 + 1063800x87 + 1073565x88 + 1070160x89 + 1192800x90 + 1202490x91 + 1216770x92 + 1358610x93 + 1345365x94 + 1369290x95 + 1511130x96 + 1490940x97 + 1565830x98 + 1696000x99 + 1674612x100

 

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