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Primi gemelli (congetture sui)

Congetture  Teoria dei numeri 

Come accade per i numeri primi, esistono numerose congetture sui primi gemelli, alcune tanto ovvie da sembrare banali, ma difficilissime da dimostrare, e forse in qualche caso false.

 

Il grande problema insoluto sui primi gemelli è se siano infiniti, come suggerisce la congettura dei primi gemelli e tutti gli esperti ritengono, o meno. Ammettendo una forma forte della congettura di Elliott – Halberstam è stato dimostrato che almeno uno degli insiemi tra primi gemelli, primi cugini e primi sexy è infinito (v. congettura dei primi gemelli).

Per ora sono stati dimostrati solo limiti superiori al numero di primi gemelli minori di n, (v. congettura dei primi gemelli).

 

Islem Ghafford ideò una procedura per calcolare il numero di coppie di primi gemelli minori di 36n2 + 60n + 21, consistente nel calcolare 6n2 + 10n + 4 e sottrarre il numero di interi nell’unione dei seguenti insiemi:

  • interi della forma 5a – 3 + b(6a – 1), per a da 1 a n e b da 0 a Limite superiore per b;

  • interi della forma 7a – 3 + b(6a – 1), per a da 1 a n e b da 0 a Limite superiore per b;

  • interi della forma 5a – 1 + b(6a + 1), per a da 1 a n e b da 0 a Limite superiore per b;

  • interi della forma 7a – 1 + b(6a + 1), per a da 1 a n e b da 0 a Limite superiore per b.

La procedura è stata verificata da Fred Schneider per n fino a 10000, cioè per le coppie di primi gemelli fino a 3600600021, e ha sempre fornito il valore corretto. Da un punto di vista pratico non è particolarmente utile, sia perché fornisce il numero di coppie di primi gemelli minori di n solo per alcuni valori di n, sia perché non è particolarmente più veloce del semplice metodo di generare tutti i numeri primi minori di n e contare le coppie di gemelli; l’importanza teorica è però notevole, perché se si dimostrasse la validità della procedura, si aprirebbe una nuova via alla dimostrazione della congettura dei primi gemelli.

 

Hardy e Littlewood proposero nel 1923 una congettura molto generale su gruppi di primi con differenze fissate, che nel caso particolare dei primi gemelli prevede che il numero π2(n) di coppie di primi gemelli minori di n tenda, per n tendente a infinito, a Limite asintotico cui tende il numero di primi gemelli minori di n, ovvero a Limite asintotico cui tende il numero di primi gemelli minori di n, dove C2 è la costante dei primi gemelli; la congettura è supportata dall’evidenza numerica, essendo stati contati i primi gemelli sino a 1018 (v. congettura dei primi gemelli).

Pólya ripropose nel 1959 la stessa congettura, supportandola con i dati disponibili allora per alcuni valori di m.

 

Marek Wolf propose la congettura che il numero di cambiamenti di segno della funzione Differenza tra il numero di primi gemelli minori di n e la stima di Hardy e Littlewood tra 1 e n tenda a sqrt(n) / log(n).

 

Una logica estensione della congettura dei primi gemelli, proposta da de Polignac nel 1849 (v. congettura di de Polignac (II)) e poi da Hardy e Littlewood, è l’esistenza di infinite coppie di primi consecutivi della forma (p, p + k) per ogni k pari. In realtà la stessa congettura dei primi gemelli non fu proposta indipendentemente, ma come caso particolare di questa.

 

Hardy e Littlewood proposero anche la congettura dell’esistenza di infiniti primi gemelli della forma n2 + 1 e n2 + 3 (v. congettura P di Hardy e Littlewood); dato che siamo ancora ben lontani dal dimostrare l’esistenza di infiniti primi gemelli o anche solo di infiniti primi di una delle due forme, la congettura sembra per ora inattaccabile.

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose due congetture sui primi gemelli, conseguenze della sua versione dell’ipotesi di Schinzel:

  • se gn è il minimo primo della n-esima coppia, Formula che coinvolge i primi gemelli;

  • se Formula per la definizione di S(n)Formula che coinvolge i primi gemelli è strettamente crescente per n > 8 e tende a 1.

Marek Wolf verificò la prima congettura per i primi gemelli inferiori a 234.

Sun verificò la seconda congettura per n fino a 500000 (g500000 = 115438667).

 

Una congettura analoga afferma che se gn è il primo inferiore dell’n-esima coppia di primi gemelli, g(n) / n è una sequenza strettamente decrescente. La congettura è stata verificata fino a 1121784847637957 (Jahangeer Kholdi e Farideh Firoozbakht, 2014).

 

Altre congetture sui primi gemelli:

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