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Primi bi-gemelli

Teoria dei numeri 

Se si sommano i primi gemelli di una coppia e si aggiunge o sottrae 1 al risultato, ovvero passando da p e p + 2 a 2p + 1 e 2p + 3, si ottiene talvolta un’altra coppia di primi gemelli; per esempio, partendo dai primi gemelli 5 e 7 si ottiene la coppia 11 e 13.

I primi di questo genere sono talvolta chiamati “primi bi-gemelli”.

Se n – 1, n + 1, 2n – 1 e 2n + 1 formano una quadrupla di primi bi-gemelli, e n è maggiore di 6, n è multiplo di 30.

 

Le quadruple di primi bi-gemelli con tutti gli elementi minori di 105 sono:

5, 7, 11, 13;

29, 31, 59, 61;

659, 661, 1319, 1321;

809, 811, 1619, 1621;

2129, 2131, 4259, 4261;

2549, 2551, 5099, 5101;

3329, 3331, 6659, 6661;

3389, 3391, 6779, 6781;

5849, 5851, 11699, 11701;

6269, 6271, 12539, 12541;

10529, 10531, 21059, 21061;

33179, 33181, 66359, 66361;

41609, 41611, 83219, 83221;

44129, 44131, 88259, 88261.

Qui trovate le quadruple di primi bi-gemelli con l’elemento minimo minore di 109 (1.1 Mbyte) (M. Fiorentini, 2016).

 

I massimi primi bi-gemelli noti sono:

  • 780193371 • 2797# • 22 ± 1, 780193371 • 2797# • 23 ± 1, 1204 cifre (M. Angel, D. Augustin e P. Jobling, 2002);

  • 419134369 • 2797# • 23 ± 1, 419134369 • 2797# • 24 ± 1, 1204 cifre (M. Angel, D. Augustin e P. Jobling, 2002);

  • 853877841 • 3571# ± 1, 853877841 • 3571# • 2 ± 1, 1529 cifre (Henri Lifchitz, 2002);

  • 7182432357 • 3779# ± 1, 7182432357 • 3779# • 2 ± 1, 1623 cifre (Didier Boivin, 2009);

  • 27950174909 • 3989# • 22 ± 1, 27950174909 • 3989 • 23 ± 1, 1710 cifre (Gary Chaffey, 2011);

  • 3658770017 • 5011# • 2 ± 1, 3658770017 • 5011# • 22 ± 1, 2155 cifre (Dirk Augustin, 2012);

  • 1197621035 • 5021# • 2 ± 1, 1197621035 • 5021# • 22 ± 1, 2158 cifre (Oscar Östlin, 2015);

  • 3548377541 • 5021# ± 1, 3548377541 • 5021# • 2 ± 1, 2158 cifre (Oscar Östlin, 2015);

  • 1952918881 • 5869# ± 1, 1952918881 • 5869# • 2 ± 1, 2531 cifre (Michael Angel e Dirk Augustin, 2016);

  • 1268525349 • 5897# • 2 ± 1, 1268525349 • 5897# • 22 ± 1, 2543 cifre (Michael Angel e Dirk Augustin, 2016).

 

I primi bi-gemelli possono costituire sequenze, analoghe alle catene di Cunningham: i primi minori di ogni coppia formano una catena di Cunningham di prima specie e i maggiori una catena di Cunningham di seconda specie.

In queste catene i primi minori di ogni coppia sono primi di Sophie Germain e i primi maggiori di ogni coppia sono primi sicuri.

Non è noto se esista un limite alla lunghezza di catene siffatte.

 

La tabella seguente riporta le minime catene (per ciascuna è indicata solo la minima coppia) (Neil Fernandez, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Lunghezza

Minima coppia

Scopritore

1

3, 5

 

2

5, 7

 

3

211049, 211051

Rick L. Shepherd e Don Reble

4

253679, 235781

Rick L. Shepherd e Don Reble

5

41887255409, 41887255411

David W. Wilson

6

73768891456259, 73768891456261

Don Reble

 

La tabella seguente riporta le massime catene note (per ciascuna è indicata solo la minima coppia).

Lunghezza

Minima coppia

Numero di cifre

Scopritore e anno

1

2996863034895 • 21290000 ± 1

388342

Tom Greer, PrimeGrid, 2016

2

7317540034 • 5011# ± 1

2155

Dirk Augustin, 2012

3

1329861957 • 937# • 23 ± 1

399

Dirk Augustin, 2006

4

223818083 • 409# • 26 ± 1

177

Dirk Augustin, 2006

5

657713606161972650207961798852923689759436009073516446064261314615375779503143112 • 149# ± 1

138

Primecoin, 2014

6

386727562407905441323542867468313504832835283009085268004408453725770596763660073 • 61# • 245 ± 1

118

Primecoin, 2014

7

227339007428723056795583 • 13# • 2 ± 1

29

Torbjörn Alm e Jens Kruse Andersen, 2004

8

10739718035045524715 • 13# ± 1

24

Jaroslaw Wroblewski, 2008

9

1873321386459914635 • 13# • 2 ± 1

24

Jaroslaw Wroblewski, 2008

 

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