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Littlewood (problema dei polinomi di)

Algebra  Problemi 

I polinomi di Littlewood sono i polinomi con tutti i coefficienti uguali a ±1, nessuno escluso, ossia tali che siano presenti tutte le potenze della variabile, da quella con esponente massimo al termine costante.

 

Il problema posto da John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 9/6/1885 – Cambridge, Inghilterra, 6/9/1977) negli anni ’50 e tuttora insoluto è la determinazione di due costanti c1 e c2, tali che esistano infiniti polinomi di Littlewood P(z) di grado n, per i quali Condizione soddisfatta da infiniti polinomi di Littlewod, per z complesso e |z| = 1.

Per quanto riguarda il limite superiore, i polinomi di Shapiro forniscono una soluzione con c2 = sqrt(2), per n uguale a una potenza di 2, mentre non è nota alcuna sequenza del genere per il limite inferiore. Sono però noti vari polinomi, di grado fino a 25, che soddisfano il limite inferiore, con c1 = 0.6.

 

J. Spencer dimostrò nel 1985 che per c2 fissato e abbastanza grande, il numero di polinomi che soddisfa il limite superiore cresce esponenzialmente al crescere di n.

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