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Primi multifattoriali

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi multifattoriali” i numeri primi della forma n!k ± 1, come 7!!! + 1 = 29.

 

I primi di queste forme sono piuttosto rari; oggi si sa che:

  • n!! + 1 è primo per n uguale a 0, 1, 2, 518, 33416 (Steven Harvey, 2002), 37310 (Steven Harvey, 2003), 52608 (Ken Davis, 2003), 123998* (Sou Fukui, 2015);

  • n!! – 1 è primo per n uguale a 3, 4, 6, 8, 16, 26, 64, 82, 90, 118, 194, 214, 728, 842, 888, 2328, 3326, 6404 (Bouk de Water, 1999), 8670 (Bouk de Water, 1999), 9682 (Bouk de Water, 1999), 27056 (Nuutti Kuosa, 2001), 44318 (Ken Davis, 2003), 76190 (Sou Fukui, 2015), 100654 (Sou Fukui, 2015), 145706 (Sou Fukui, 2016).

 

I record per i multifattoriali sono 502051!7 + 1 (377722 cifre, Rene Dohmen, 2012) e 446236!7 – 1 (332466 cifre, Rene Dohmen, 2011).

 

Sono stati considerati anche i primi della forma forma n!k ± 1, come 7!! + 2 = 107:

  • n!! + 2 è primo per n = 0, 1, 3, 5. 7, 9, 21, 23, 27, 57, 75, 103, 169, 219, 245, 461, 695, 1169, 3597, 3637*, 7495* e per nessun altro intero inferiore a 10000;

  • n!! – 2 è primo per n = 5, 7, 15 , 17, 19, 51, 73, 89, 131, 153, 245, 333, 441, 463, 825, 1771, 2027, 9157* e per nessun altro intero inferiore a 10000.

In questi casi n dev’essere ovviamente dispari, tranne nei casi 0!k + 2 = 2 e 4!k – 2 = 2, per k > 2; inoltre se k è dispari, gli unici primi sono quelli banali delle forme (p – 2)!k + 2 = p, con p primo minore di k – 1, e (p + 2)!k – 2 = p, con p primo minore di k + 3.

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