Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Consideriamo una griglia di punti a maglia quadrata, nella quale ogni punto è connesso ai 4 vicini con una freccia e il bordo destro è contiguo al sinistro e il superiore all’inferiore.

In quanti modi diversi si possono disporre le frecce in una griglia n × n?

 

Se non si pongono vincoli, vi sono 4n modi di disporre le frecce, se si impone che il numero di frecce entranti in ogni punto sia pari (quindi 0, 2 o 4), il numero di modi è 2n + 1.

 

Il problema diviene complesso se si richiede la condizione euleriana che il numero di frecce entranti sia uguale al numero di frecce uscenti. Non si conosce una formula per calcolare il numero di modi; i primi valori sono riportati nella tabella seguente (Steven Finch, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Modi

1

4

2

18

3

148

4

2970

5

143224

6

16448400

7

4484823396

8

2901094068042

9

4448410550095612

10

6178049740086515288

11

139402641051212392498528

12

2849295959501939989625992464

13

137950545200232788276834783781648

 

Questi numeri sono detti “numeri di orientamenti euleriani del quadrato n × n”.

 

Elliott H. Lieb dimostrò nel 1967 che il numero tende a Limite cui tende il numeri di orientamenti euleriani del quadrato n × n, dove K è una costante, detta “costante di Lieb” o “entropia residua del cristallo (o ghiaccio) quadrato” e vale Formula per la costante di Lieb.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante di Lieb.

 

Il suo legame col ghiaccio deriva dal fatto che il reticolo proposto costituisce un modello semplificato del cristallo che una sostanza come l’acqua potrebbe formare, considerando i punti come gli atomi di ossigeno e le due frecce uscenti come i due atomi di idrogeno a esso legati.

 

La figura seguente mostra uno dei possibili reticoli.

H

O

 

H

O

H

 

O

H

 

O

H

 

O

H

 

 

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H

 

 

 

H

 

 

 

H

 

 

 

H

 

 

 

H

 

 

 

 

 

 

 

 

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O

H

 

O

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H

 

 

 

H

 

 

 

H

 

 

 

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H

O

 

H

O

 

H

O

H

 

O

H

 

O

H

 

Se non si pongono vincoli sulle frecce uscenti da ogni punto, vi sono 16 possibili tipi di vertice; se le frecce uscenti sono in numero pari, il numero di vertici scende a 8 e se si impone l’orientamento euleriano a 6.

 

Se ci si limita a reticoli nei quali la prima e l’ultima riga non contengano atomi di idrogeno, sostiturendo le molecole con orientamento orizzontale con 1, quelle con orientamento verticale con – 1 e le restanti con 0, si può far corrispondere a ogni reticolo una matrice a segni alternati (v. numeri di Robbins) e il numero di reticoli possibili è un numero di Robbins. Per esempio, la matrice corrispondente al reticolo della figura è Matrice a segni alternati.

 

Se la griglia di partenza è triangolare, vi sono 6 punti vicini a ciascuno; imponendo l’orientamento Euleriano, vi sono 20 differenti tipi di vertici e vale la stessa formula asintotica per il numero di disposizioni, ma la costante K diventa Formula per la costante di Lieb (R.J. Baxter, 1969) ed è detta “costante dell’entropia dei venti vertici”.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante dell’entropia dei venti vertici.

Vedi anche

Numeri di Robbins.

Bibliografia

  • Bressoud, David M.;  Proofs and Confirmations: The Story of the Alternating Sign Matrix Conjecture, Cambridge, Cambridge University Press, 1999.

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