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Primi Eulero-regolari

Teoria dei numeri 

I primi Eulero-regolari sono definiti in modo analogo ai primi regolari, utilizzando però i numeri di Eulero al posto di quelli di Bernoulli. Quindi un primo p che non divide i numeratori dei numeri di Eulero da E2 a Ep – 3 si dice “Eulero-regolare”, mentre si dice “Eulero-irregolare” in caso contrario.

 

R. Ernwall e T. Mesänkylä elencarono nel 1978 i primi Eulero-irregolari minori di 10000.

 

La tabella seguente mostra i primi Eulero-irregolari fino a 1000 e gli indici dei numeri di Eulero fino a Ep – 3 che ciascuno di essi divide.

Primo

Indici

19

10

31

22

43

12

47

14

67

26

71

28

79

18

101

62

137

42

139

128

149

146

193

74

223

132

241

210, 238

251

126

263

212

277

8

307

90, 136

311

86, 192

349

18, 256

353

70

359

124

373

162

379

316

419

158

433

214

461

426

463

228

491

428

509

140

541

464

563

174, 260

571

388

577

208, 426

587

44

619

370, 542

677

528

691

548

709

492

739

494

751

296, 710

761

104

769

246

773

498

811

726

877

286

887

560

907

318, 818

929

722

941

686, 804

967

12

971

824

983

556

 

Nel 1940 Harry Schultz Vandiver (Philadelphia, USA, 21/10/1882 – Austin, USA, 9/1/1973) dimostrò un teorema, analogo a quello dimostrato da Kummer nel 1851 (v. primi regolari), che afferma che il primo caso dell’ultimo teorema di Fermat è valido per i primi Eulero-regolari e in particolare per i primi p che non dividono il numeratore di Ep – 3, ossia che xn + yn = zn non ha soluzioni con interi maggiori di zero, se n è un primo che non divide il numeratore di En – 3 e x, y e z non sono multipli di n.

 

Gli unici primi p noti che dividano Ep – 3 sono 149, 241 e 2946901; se ve ne sono altri, sono maggiori di 107 (Romeo Mestovic, 2012).

 

Nel 1950 M. Gut dimostrò che se x2p + y2p = z2p con x, y e z interi maggiori di zero e non multipli di p e p primo maggiore di 7, allora Ep – 3Ep – 5Ep – 7Ep – 9Ep – 11 mod p.

 

L. Carlitz dimostrò nel 1954 che i primi Eulero-irregolari sono infiniti e R. Ernvall nel 1975 che sono infiniti quelli non della forma 8n ± 1, mentre non è stato dimostrato che siano infiniti quelli Eulero-regolari.

 

Florian Luca, Amalia Pizarro-Madariaga e Carl Pomerance dimostrarono nel 2010 che il numero di primi Eulero-irregolari minori di n è almeno log(log(n)) / log(log(log(n))), per n sufficientemente grande.

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