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Borsuk (congettura di)

Congetture  Geometria 

Nel 1932 Karol Borsuk (Varsavia, 8/5/1905 – Varsavia, 24/1/1982) dimostrò che in qualsiasi numero n di dimensioni si può suddividere un’ipersfera a n dimensioni in n + 1 parti di diametro minore della sfera e si chiese se la stessa proprietà valesse per qualsiasi figura o insieme di punti.

Il diametro di una figura è definito come la massima distanza tra due dei suoi punti.

 

Borsuk non si disse convinto della possibilità: si limitò a proporre il problema e per questo l’affermazione dovrebbe essere chiamata “problema di Borsuk”, tuttavia tra i contemporanei, convinti che la risposta fosse affermativa, divenne nota come “congettura di Borsuk” e il nome è rimasto.

 

La congettura sembra ovvia: dividendo un cerchio in tre settori circolari o un rettangolo in tre rettangoli, con tagli paralleli al lato corto, le figure risultanti hanno diametro minore dell’originale.

Nel caso del quadrato esistono suddivisioni come quella mostrata nella figura seguente.

 

Suddivisione di un quadrato in tre parti di diametro minore

 

 

La congettura riguarda qualsiasi figura, anche non convessa, formata da parti disgiunte o addirittura da punti isolati; l’unico vincolo è che vi sia un limite superiore alle distanze, cioè che non si estenda all’infinito e anche nel caso del piano la dimostrazione non è immediata.

 

Che servano almeno n + 1 parti si vede facilmente con figure come cerchio e triangolo equilatero nel piano, sfera e tetraedro regolare nello spazio e i loro analoghi in dimensioni superiori: l’ipertetraedro regolare (o più correttamente il simplesso) a n dimensioni ha n + 1 vertici, tutti equidistanti tra loro, che ne determinano il diametro; per esempio, in tre dimensioni il tetraedro regolare ha 4 vertici, ciascuno equidistante dagli altri). Se lo si suddivide in n parti, almeno una conterrà 2 vertici, quindi avrà un diametro uguale all’originale.

 

Borsuk dimostrò che la congettura vale in due dimensioni e nel 1947 Julian Perkal dimostrò che vale in tre; una dimostrazione più semplice fu poi trovata da Branko Grünbaum e Aladár Heppes.

In seguito fu dimostrato che la congettura vale in qualsiasi numero di dimensioni per figure di forma particolare:

  • per figure convesse e lisce (tecnicamente, descritte da una funzione derivabile infinite volte) da Hugo Hadwiger nel 1946;

  • per figure a simmetria centrale da A.S. Riesling nel 1971;

  • per figure di rivoluzione intorno a un’asse da Boris Dekster nel 1995.

 

La dimostrazione è immediata in una dimensione: la figura è un insieme di punti sulla retta, contenuti in un segmento; se si divide l’insieme in due parti, ciascuna avrà una distanza tra gli estremi minore dell’originale.

 

Anche in due dimensioni la dimostrazione è semplice: ogni figura di diametro unitario si può iscrivere in un esagono regolare di lato sqrt(3) / 3, come mostra la figura seguente.

 

Esagono regolare contenente una figura di diametro 1

 

Dividendo l’esagono come nella figura seguente, si ottengono tre parti di diametro sqrt(3) / 2, minore di 1.

 

Esagono regolare contenente una figura di diametro 1, diviso in tre parti di diametro minore di 1

 

 

In tre dimensioni la dimostrazione è analoga, sebbene più complessa: ogni figura di diametro unitario può essere inscritta in un ottaedro regolare di spigolo sqrt(6) / 2, tre vertici del quale possono essere troncati. Il poliedro risultante può infine essere diviso in 4 parti di diametro sqrt(12258060 – 1874838 * sqrt(3)) / 3036.

 

Oded Schramm dimostrò che in n dimensioni bastano (sqrt(3 / 2) + ε)^n parti per qualsiasi ε > 0 e n abbastanza grande.

 

Nel 1993 Jeff Kahn e Gil Kalai dimostrarono che sono necessarie almeno 1.2^sqrt(n) parti per n abbastanza grande e quindi che la congettura è falsa in dimensioni abbastanza grandi.

Dato che se la congettura è falsa in una dimensione, lo è in tutte le dimensioni superiori, si aprì la caccia alla minima dimensione nella quale si riesca a trovare un controesempio.

 

Nel 1993 Kalai trovò un controesempio in 1326 dimensioni, ossia un figura che non può essere suddivisa in 1327 di diametro inferiore. La figura è in realtà un insieme di C(51, 25) punti, sottoinsieme dei 21326 vertici di un ipercubo di spigolo 1. Ogni sottoinsieme di questi punti di diametro inferiore a 1 ne contiene al massimo C(51, 12), quindi per ridurre il diametro bisogna dividere la figura in almeno Minimo intero non inferiore a C(51, 25) / C(51, 12) parti.

A partire da questa dimostrazione A. Nilli costruì un controesempio in 946 dimensioni.

 

Andrei M. Raigorodskii e Bernulf Weissbach dimostrarono che se q è una potenza di un primo dispari, in (2q – 1)(4q – 3) dimensioni esiste un insieme di 24q – 2 punti che richiede almeno Numero minimo di parti parti. Prendendo q = 9 si ricava che in 561 dimensioni esiste un insieme di 232 punti che richiede almeno 759 parti.

Weissbach ridusse poi le dimensioni a 560.

 

La minima dimensione nella quale la congettura è falsa fu in seguito gradualmente ridotta:

  • a 323 da A. Hinrichs;

  • a 320 da I. Pikhurko;

  • a 298 da Aicke Hinrichs e Christian Richter;

  • Andriy V. Bondarenko costruì nel 2013 un controesempio in 65 dimensioni con un insieme di 416 punti che richiede almeno 84 parti;

  • nel 2014 Thomas Jenrich e Andries E. Brouwer mostrarono come da questo si potesse ricavare un controesempio in 64 dimensioni con un insieme di 352 punti che richiede almeno 71 parti.

 

La particolarità delle ultime due costruzioni è che vi sono solo due distanze differenti tra tutti i punti.

Gli insiemi di punti tali che le distanze diverse tra essi sono solo due sono stati molto studiati; Larman, Rogers e Seidel dimostrarono che in n dimensioni i punti possono essere al massimo (n + 1) * (n + 4) / 2 e Aart Blokhuis ridusse il limite a (n + 1) * (n + 2) / 2.

 

Una variante studiata è quella in cui la figura è costituita dai vertici di un ipercubo di spigolo 1; in questo caso si sa che la congettura è vera fino a 9 dimensioni e falsa a partire da 561.

Jonathan P. McCammond e Günter Ziegler dimostrarono che se si considerano sottoinsiemi dei vertici di un ipercubo a n dimensioni di spigolo 1, per ogni valore di k esiste una costante m che dipende solo da k, tale che ogni configurazione di dimensione n e diametro minore di 2k, può essere suddivisa in n – 2k + 2 parti di diametro minore. Quindi benché questa variante della congettura sia falsa in dimensioni elevate, vale se il numero di dimensioni è molto maggiore del diametro della configurazione.

Bibliografia

  • Borsuk, Karol;  "Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre" in Fund. Math., n. 20, 1933, pag. 177 – 190.
  • Kahn, Jeff;  Kalai, Gil;  "A counterexample to Borsuk's conjecture" in Bulletin of the American Mathematical Society, n. 29, 1993, pag. 60 – 62.

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