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Primi regolari

Teoria dei numeri 

La definizione originale dei primi regolari è troppo tecnica per essere esposta in questa sede, possiamo però adottare una definizione che Ernst Eduard Kummer dimostrò essere equivalente: un primo regolare p non divide i numeratori dei numeri di Bernoulli da B2 a Bp – 3.

 

I primi p che dividono Bp – 3 sono i primi di Wolstenholme.

 

L’importanza dei primi regolari è legata a un teorema, dimostrato da Kummer nel 1851, che afferma l’ultimo teorema di Fermat è valido per i primi regolari, ossia che xn + yn = zn non ha soluzioni con interi maggiori di zero, se n è un primo regolare (o un suo multiplo). Kummer fu il primo a dimostrare la validità del teorema di Fermat nei due casi (v. ultimo teorema di Fermat) per un’intera famiglia di primi.

 

L’indice di irregolarità di un primo p è il numero dei numeratori di indice non superiore a p – 3 che divide; per convenzione 2 è irregolare con indice –1 e i primi regolari hanno indice 0.

La tabella seguente mostra i minimi primi con indice di irregolarità fino a 7.

Indice

Minimo primo

–1

2

0

3

1

37

2

157

3

491

4

12613

5

78233

6

527377

7

3238481

8

381348997

9

1767218027

 

La tabella seguente mostra i primi irregolari fino a 1000 e gli indici dei numeri di Bernoulli fino a Bp – 3 che ciascuno di essi divide.

Primo

Indici

37

32

59

44

67

58

101

68

103

24

131

22

149

130

157

62, 110

233

84

257

164

263

100

271

84

283

20

293

156

307

88

311

292

347

280

353

186, 300

379

100, 174

389

200

401

382

409

126

421

240

433

366

461

196

463

130

467

94, 194

491

292, 336, 338

523

400

541

86

547

270, 486

557

222

577

52

587

90, 92

593

22

607

592

613

522

617

20, 174, 338

619

428

631

80, 226

647

236, 242, 554

653

48

659

224

673

408, 502

677

628

683

32

691

12, 200

727

378

751

290

757

514

761

260

773

732

797

220

809

330, 628

811

544

821

744

827

102

839

66

877

868

881

162

887

418

929

520, 820

953

156

971

166

Qui trovate i primi irregolari fino a 107 (2 Mbyte).

 

Dopo una fase pionieristica di calcoli eseguiti manualmente, i progressi nella ricerca di primi irregolari si devono principalmente all’aumento della capacità di calcolo, ma anche, in qualche caso, allo sviluppo di algoritmi più efficienti: i migliori noti impiegano un tempo che cresce poco più che linearmente rispetto al primo in esame, per decidere se sia regolare o no.

La tabella seguente riporta le tappe principali.

Limite della ricerca

Autori e anno

43

Ernst Eduard Kummer, 1850

97

Ernst Eduard Kummer, 1851

163

Ernst Eduard Kummer, 1874

199

E.T. Stafford e H.S. Vandiver, 1930

613

H.S. Vandiver, 1937

2000

D.H. Lehmer, Emma Lehmer e H.S. Vandiver, 1954

2503

H.S. Vandiver, 1954

4001

J.L. Selfridge, C.A. Nicol e H.S. Vandiver, 1955

10000

D.H. Lehmer, 1963

25000

J.L. Selfridge e Pollack, 1964

30000

W. Johnson, 1975

32768

Wada, 1976

125000

S. Wagstaff Jr., 1978

150000

J.W. Tanner & S. Wagstaff Jr., 1987

400000

R.W. Sompolski, 1991

1000000

J.P. Buhler, R.E. Crandall e R.W. Sompolski, 1992

4000000

J.P. Buhler, R.E. Crandall, R. Ernvall e Tauno Metsänkylä, 1993

8000000

R.W. Shokrollahi, 1996

12000000

J.P. Buhler, R.E. Crandall, R. Ernvall, Tauno Metsänkylä e R.W. Shokrollahi, 2001

163577356

J.P. Buhler e David Harvey, 2009

2147483648

William Hart, David Harvey e Wilson Ong, 2016

 

Si conoscono anche parecchi primi irregolari molto maggiori, ottenuti dalla scomposizione dei numeratori dei numeri di Bernoulli in fattori primi.

 

Nonostante i primi irregolari sembrino relativamente rari, almeno tra i numeri piccoli, K.L. Jensen dimostrò nel 1915 che esistono infiniti primi irregolari della forma 4k + 3.

Tauno Metsänkylä dimostrò nel 1971 che sono infiniti quelli della forma 4k + 1 o 3k + 1, pur senza poter stabilire che i primi di una di queste due forme siano infiniti, e che, fissato n maggiore di 6, esistono infiniti primi irregolari non della forma kn – 1 o kn + 1.

Non è stato invece dimostrato che siano infiniti i primi regolari.

 

C.L. Siegel propose nel 1964 la congettura che la frazione dei primi regolari tenda a 1 / sqrt(e).

Il miglior limite inferiore noto si deve a Florian Luca, Amalia Pizarro-Madariaga e Carl Pomerance, che nel 2010 dimostrarono che il numero di primi irregolari minori di n tende almeno a log(log(n)) / log(log(log(n))).

 

Il massimo primo irregolare noto è 6 / 2153 * B(4306) (M. Oakes, 2009, 10342 cifre); il massimo primo probabile irregolare noto è –B(22808) / 22808 (T.D. Noe, 2005, 71290 cifre).

 

La più lunga sequenza di primi regolari consecutivi nota inizia con 17881 e comprende 27 primi; la più lunga di irregolari inizia con 670619 e ne comprende 14.

 

Su Hu, Min-Soo Kim e Min Sha dimostrarono nel 2017 che un primo irregolare p divide il numeratore di uno dei numeri E1(0), E3(0), E5(0), … Ep – 2(0), dove En(x) è l’n-esimo polinomio di Eulero.

 

Un criterio curioso, ma di scarsa utilità pratica, per determinare se un primo è regolare è il seguente: un primo p è irregolare se e solo se Formula per determinare se un primo è regolare è divisibile per p per qualche k pari non superiore a p – 5, dove Derivata k-esima della funzione 1 / tan(x), calcolata per x = π * n / p indica la derivata k-esima della funzione 1 / tan(x), calcolata per x = π * n / p.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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