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Identità degli n quadrati (problema delle)

Problemi  Teoria dei numeri 

L’arabo Khazin nel 950 conosceva l’identità “dei due quadrati”: (a2 + b2)(c2 + d2) = (acbd)2 + (bc + ad)2 = (ac + bd)2 + (bcad)2, probabilmente nota già a Diofanto (200 circa d.C.).

Dal Rinascimento i matematici si misero a cercare identità analoghe, nelle quali il prodotto di due somme di n quadrati fosse esprimibile come somma di n quadrati, con n maggiore di 2.

 

Eulero dimostrò nel 1748 l’identità dei 4 quadrati Identità dei 4 quadrati.

 

Nel 1808 Legendre notò in Théorie des Nombres che non può esistere una corrispondente identità dei tre quadrati: infatti, sia 3 = 12 + 12 + 12, sia 21 = 42 + 22 + 12 sono somme di 3 quadrati, ma 63 = 3 • 21 e non lo è.

 

Nel 1818 Ferdinand Degen dimostrò l’identità degli 8 quadrati, riscoperta indipendentemente da John Tomas Graves nel 1843 e Arthur Cayley nel 1845: Identità degli 8 quadrati.

 

Identità con altri numeri di quadrati furono a lungo cercate, ma senza successo: infine nel 1923 Hurwitz dimostrò che identità del genere sono possibili solo con 1, 2, 4 o 8 quadrati.

Vedi anche

Quadrati.

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