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Cinquine di Diofanto (problema delle)

Problemi  Teoria dei numeri 

Diofanto propose il problema di trovare quattro numeri razionali, tali che il prodotto di due qualsiasi di essi sia il quadrato di un numero razionale meno uno e diede come soluzione 1 / 16, 33 / 1668 / 16 e 105 / 16. Fermat trovò una soluzione con numeri interi: 1, 3, 8 e 120 e da allora il problema, riferito agli interi, ha attratto l’attenzione di numerosi matematici.

 

Eulero, V. Hoggatt e G. Bernum e Jones dimostrarono che esistono varie quaterne del genere (v. quadrati) e vari matematici si chiesero se esistessero insiemi di 5 interi positivi con la stessa proprietà.

 

Eulero scrisse inoltre di non essere riuscito a trovare un quinto intero da aggiungere all’insieme di Fermat, ma che aggiungendo 777480 / 2879 si ottiene un insieme di 5 numeri razionali con la proprietà desiderata.

 

Altri matematici tentarono, anche con l’aiuto di elaboratori, di sostituire 120 con un altro numero nella quaterna di Fermat e di aggiungere un quinto numero. Le ricerche non diedero esito e il limite minimo per l’eventuale sostituto venne progressivamente aumentato, sino a quando nel 1969 H. Davenport e A. Baker dimostrarono che non esistono altri interi che possano sostituirlo e che non si può estendere l’insieme con un quinto intero.

 

M. Velluppillai dimostrò nel 1980 non si può aggiungere un quinto intero alla quaterna 2, 4, 12 e 420, né sostituire 420 con un altro numero.

 

Questi risultati sono lievemente sorprendenti, dato che J. Arkin, V.E. Hoggatt e E.G. Strauss dimostrarono nel 1979 che qualsiasi terna del genere può invece essere estesa a una quaterna. Infatti, data una terna { a, b, c }, con ab + 1 = r2, ac + 1 = s2 e bc + 1 = t2, si può aggiungere d = a + b + c + 2abc + 2rst. Dato che esistono infinite terne della forma { 1, n2 – 1, n2 + 2n } con n > 1, estendendole si ottengono infinite quaterne.

 

La caccia a un insieme di 5 interi del genere è tuttora aperta.

Nel 2004 A. Dujella dimostrò però che non esistono insiemi di 6 interi e che quelli di 5 sono al massimo in numero finito, tutte con numeri inferiori a 101026.

Vedi anche

Quadrati.

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