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wn

Funzioni 

Si chiama “quoziente di Wilson” il valore Formula per la definizione del quoziente di Wilson; è intero se e solo se p è 1 o primo (teorema di Wilson).

 

Nel 1899 J.W.L. Glaisher dimostrò un interessante legame tra il quoziente di Wilson e i numeri di Bernoulli: npwpBn(p – 1)p + 1 mod p2 e in particolare pwpBp – 1p + 1 mod p2.

 

Nel 1905 M. Lerch dimostrò un altro legame: wpB2p – 2Bp – 1 mod p, dal quale segue che per i primi di Wilson B2p – 2Bp – 1 mod p.

 

Altre proprietà del quoziente di Wilson, per p primo dispari:

Congruenza soddisfatta dal quoziente di Wilson, dove qp(n) è il quoziente di Fermat;

Congruenza soddisfatta dal quoziente di Wilson, dove qp(n) è il quoziente di Fermat (N.G.W.H. Beeger, 1913);

wpB2p – 2Bp – 1 mod p;

Congruenza soddisfatta dal quoziente di Wilson, per p > 3.

 

Il teorema di Wilson ci dice che se e solo se p è primo, il quoziente di Wilson è intero, ma quando è a sua volta primo? Gli unici casi noti sono p = 5, 7, 11, 29, 773, 1321 e 2621 (negli ultimi due casi il quoziente è un primo probabile) e nessun altro fino a 30941 (Mike Oakes).

 

Il quoziente di Wilson si può estendere a interi composti, definendolo come Formula per la definizione del quoziente di Wilson, dove s(n) vale –1, se n è 1 o ha una radice primitiva (cioè se n è 2, 4, una potenza di un primo dispari o il doppio di una potenza di un primo dispari), 1 altrimenti, perché Gauss dimostrò che Formula per un teorema di Gauss e quindi il quoziente è sempre intero.

 

La tabella seguente mostra i quozienti di Wilson wn per n fino a 20.

n

wn

1

2

2

1

3

1

4

1

5

5

6

1

7

103

8

13

9

249

10

19

11

329891

12

32

13

36846277

14

1379

15

59793

16

126689

17

1230752346353

18

4727

19

336967037143579

20

436486

 

Nel 1998 Takashi Agoh, Karl Dilcher e Ladislav Skula dimostrarono che il quoziente di Wilson soddisfa alcune congruenze (nelle seguenti formule vale la precedente definizione di s(n) e qp(n) è il quoziente di Fermat):

se n è dispari e maggiore di 1, w2n è dispari se e solo se n è una potenza di un primo;

se p è un primo che non divide m, wmpnwmpn – 1 mod mpn – 1, se n > 1 per p > 3, se n > 2 per p = 3, se n > 2 e m > 2 per p = 2;

w2nw2n – 1 mod 2n – 2, se n > 3 e in particolare w2n ≡ 1 mod 4;

w4n ≡ –w2n mod n, se n è una potenza di un primo;

w4nw2n mod 2n, se n non è una potenza di un primo;

w4n ≡ 0 mod 4, se n è una potenza di un primo e n ≡ 1 o 3 mod 8;

w4n ≡ 2 mod 4, se n è una potenza di un primo e n ≡ 5 o 7 mod 8;

w9nw3n mod n, se n non è multiplo di 3;

w9nw3n mod 3n, se n è multiplo di un primo della forma 3k + 1;

se p è un primo della forma 54k + 17, w9n ≡ 3 mod 9;

se p è un primo della forma 54k + 35, w9n ≡ 0 mod 9;

se p è un primo della forma 54k + 53, w9n ≡ 6 mod 9;

Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, dove en(k) è il quoziente di Eulero, per n > 2;

Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, per n > 2;

Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, per n > 2;

Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, per n maggiore di 2 e non della forma 3k + 1;

se n è maggiore di 4, non è multiplo di quadrati ed è il prodotto di soli primi della forma 3k + 2, Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson e Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson;

per p primo dispari e n maggiore di 1 e non multiplo di p, Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, dove la somma va calcolata sulle massime potenze di primi che dividono n;

per p primo dispari e n maggiore di 2 e non multiplo di p, Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson;

se p è un primo dispari, –2w4pwp + qp(2) mod p;

se p è un primo maggiore di 3, –3w9p ≡ 2wp + qp(3) mod p;

se p e q sono primi dispari distinti, –qwpq ≡ (q – 1)wp + qp(q) mod p;

se p, q e r sono primi distinti e p > 2, –qrwpqr ≡ (q – 1)(r – 1)wp + (q – 1)qp(r) + (r – 1)qp(q) mod p.

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