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Si chiama “quoziente di Wilson” il valore Formula per la definizione del quoziente di Wilson; è intero se e solo se p è 1 o primo (teorema di Wilson).

 

Nel 1899 J.W.L. Glaisher dimostrò un interessante legame tra il quoziente di Wilson e i numeri di Bernoulli: npwpBn(p – 1)p + 1 mod p2 e in particolare pwpBp – 1p + 1 mod p2.

 

Nel 1905 M. Lerch dimostrò un altro legame: wpB2p – 2Bp – 1 mod p, dal quale segue che per i primi di Wilson B2p – 2Bp – 1 mod p.

 

Altre proprietà del quoziente di Wilson, per p primo dispari:

Congruenza soddisfatta dal quoziente di Wilson, dove qp(n) è il quoziente di Fermat;

Congruenza soddisfatta dal quoziente di Wilson, dove qp(n) è il quoziente di Fermat (N.G.W.H. Beeger, 1913);

Congruenza soddisfatta dal quoziente di Wilson, per p > 3 e 0 < k < p (René Gy, 2018);

Congruenza soddisfatta dal quoziente di Wilson, per p > 3.

 

Il teorema di Wilson ci dice che se e solo se p è primo, il quoziente di Wilson è intero, ma quando è a sua volta primo? Gli unici casi noti sono p = 5, 7, 11, 29, 773, 1321 e 2621 (negli ultimi due casi il quoziente è un primo probabile) e nessun altro fino a 30941 (Mike Oakes).

 

La tabella seguente mostra i quozienti di Wilson wn per n fino a 20.

n

wn

1

2

2

1

3

1

4

7 / 4

5

5

6

121 / 6

7

103

8

5041 / 8

9

40321 / 9

10

362881 / 9

11

329891

12

39916801 / 12

13

36846277

14

6227020801 / 14

15

87178291201 / 15

16

1307674368001 / 16

17

1230752346353

18

355687428096001 / 18

19

336967037143579

20

121645100408832001 / 20

 

Gli unici primi noti per i quali wp ≡ 2 mod p sono: 19, 1187, 14296621, 16556218163369 (René Gy, 2018).

L’interesse per questi numeri nasce dal fatto che René Gy dimostrò nel 2018 che se e solo se n è un primo di Wilson o wp ≡ 2 mod p:

  • Congruenza soddisfatta dai primi di WIlson e dai numeri per i quali w(n) ≡ 2 mod n, per ogni k > 0, dove qp(n) è il quoziente di Fermat;

  • Congruenza soddisfatta dai primi di WIlson e dai numeri per i quali w(n) ≡ 2 mod n, dove Lp è il quoziente di Lerch e qp(n) è il quoziente di Fermat.

 

 

Nel 1998 Takashi Agoh, Karl Dilcher e Ladislav Skula dimostrarono che il quoziente di Wilson soddisfa alcune congruenze (nelle seguenti formule vale la precedente definizione di s(n) e qp(n) è il quoziente di Fermat):

se n è dispari e maggiore di 1, w2n è dispari se e solo se n è una potenza di un primo;

se p è un primo che non divide m, wmpnwmpn – 1 mod mpn – 1, se n > 1 per p > 3, se n > 2 per p = 3, se n > 2 e m > 2 per p = 2;

w2nw2n – 1 mod 2n – 2, se n > 3 e in particolare w2n ≡ 1 mod 4;

w4n ≡ –w2n mod n, se n è una potenza di un primo;

w4nw2n mod 2n, se n non è una potenza di un primo;

w4n ≡ 0 mod 4, se n è una potenza di un primo e n ≡ 1 o 3 mod 8;

w4n ≡ 2 mod 4, se n è una potenza di un primo e n ≡ 5 o 7 mod 8;

w9nw3n mod n, se n non è multiplo di 3;

w9nw3n mod 3n, se n è multiplo di un primo della forma 3k + 1;

se p è un primo della forma 54k + 17, w9n ≡ 3 mod 9;

se p è un primo della forma 54k + 35, w9n ≡ 0 mod 9;

se p è un primo della forma 54k + 53, w9n ≡ 6 mod 9;

Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, dove en(k) è il quoziente di Eulero, per n > 2;

Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, per n > 2;

Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, per n > 2;

Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, per n maggiore di 2 e non della forma 3k + 1;

se n è maggiore di 4, non è multiplo di quadrati ed è il prodotto di soli primi della forma 3k + 2, Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson e Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson;

per p primo dispari e n maggiore di 1 e non multiplo di p, Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson, dove la somma va calcolata sulle massime potenze di primi che dividono n;

per p primo dispari e n maggiore di 2 e non multiplo di p, Congruenza che coinvolge il quoziente di Wilson;

se p è un primo dispari, –2w4pwp + qp(2) mod p;

se p è un primo maggiore di 3, –3w9p ≡ 2wp + qp(3) mod p;

se p e q sono primi dispari distinti, –qwpq ≡ (q – 1)wp + qp(q) mod p;

se p, q e r sono primi distinti e p > 2, –qrwpqr ≡ (q – 1)(r – 1)wp + (q – 1)qp(r) + (r – 1)qp(q) mod p.

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