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qp(n)

Funzioni 

Si chiama “quoziente di Fermat” in base b il valore Formula per la definizione del quoziente di Fermat; normalmente si considera il quoziente di Fermat solo per p primo dispari.

 

Il quoziente di Fermat è intero se e solo se p è primo o pseudoprimo di Fermat e b non è multiplo di p.

 

Dalla definizione si ricava che qp(1) = 0 e qp(–b) = qp(b), se p è un primo dispari.

 

 

Nel 1850 Ferdinand Gotthold Max Eisenstein (Berlino, 16/4/1823 – Berlino, 11 October 1852) dimostrò che se p è un primo dispari e a e b non sono multipli di p:

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat e quindi qp(p + 1) ≡ –1 mod p;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat e quindi qp(p – 1) ≡ 1 mod p;

qp(ab) ≡ qp(a) + qp(b) mod p;

qp(bn) ≡ nqp(b) mod p; e quindi se p = 2n ± 1 è primo, Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat.

 

Nel 1895 Dmitry Semionovitch Mirimanoff (Pereslavl-Zalessky, Russia, 13/9/1861 – Ginevra, Svizzera, 5/1/1945) fece notare che dalle identità di Eisenstein segue che Formula che coinvolge i quozienti di Fermat e qp(a + np2) ≡ qp(a) mod p.

 

Nel 1905 M. Lerch dimostrò un interessante legame tra il quoziente di Fermat e i numeri di BernoulliFormula che coinvolge i quozienti di Fermat e i numeri di Bernoulli per ogni intero n minore di p; in particolare Formula che coinvolge i quozienti di Fermat.

 

Nel 1979 H.W. Lenstra dimostrò che il minimo valore di b tale che qp(b) non sia multiplo di p non supera 4log2p.

 

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, dove Formula che coinvolge i quozienti di Fermat è un numero armonico (I) a segni alternati (Zhi-Wei Sun, 2011).

 

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, per p primo e maggiore di 3 (Romeo Meštrović, 2012).

 

Altre proprietà del quoziente di Fermat per p primo, dimostrate da Emma Lehmer nel 1937, salvo diversa indicazione (nelle formule wp è il quoziente di Wilson):

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, se n non è multiplo di p – 1 (Friedmann e Tamarkin);

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, se n è multiplo di p – 1 (Friedmann e Tamarkin);

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, se né 2n, né 2n – 2 sono multipli di p – 1, e in particolare Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, se 22n – 1 è multiplo di p;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, se né 2n, né 2n – 2 sono multipli di p – 1;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, per p > 3;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, per p > 3;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, per p > 5;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat (Vandiver, 1917);

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, per p > 3;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, per p > 3;

Formula che coinvolge i quozienti di Fermat, per p > 5.

 

Le tabelle seguenti mostrano i quozienti di Fermat per i primi fino a 20 e b fino a 20.

p \ b

2

3

4

5

6

3

1

-

5

8

-

5

3

16

51

-

259

7

9

104

585

2232

6665

11

93

5368

95325

887784

5496925

13

315

40880

1290555

18780048

167444795

17

3855

2532160

252645135

8975758272

165947641615

19

13797

20390552

3616814565

200773540296

5345260877285

p \ b

7

8

9

10

3

16

21

-

33

5

480

819

1312

-

7

-

37449

75920

142857

11

25679568

97612893

316980400

909090909

13

1064714400

5286113595

21725348960

76923076923

17

1954878268800

16557351571215

109001187579520

588235294117647

19

85705978837392

948126237341157

7899717647210480

52631578947368421

p \ b

11

12

13

3

40

-

56

5

2928

4147

5712

7

253080

426569

689544

11

-

5628851293

12532590168

13

241417567440

685853880635

-

17

2702925286092480

10875544640884495

39142153481363520

19

292627227025906920

1401228067415012837

5918705629050389112

p \ b

14

15

16

3

65

-

85

5

7683

-

13107

7

-

1627232

2396745

11

26295877725

52422762784

99955602525

13

4361070182715

9980487530048

21651921285435

17

128114902224080655

386376962100758272

1085102592571150095

19

22467308116349302245

77783783159757915296

248545604361560274405

p \ b

17

18

3

96

-

5

16704

20995

7

3448224

4858889

11

183272172768

324587929693

13

44817095171520

88987029340475

17

-

7143501829211426575

19

740162339582511841632

2070863582910344082917

p \ b

19

20

3

120

133

5

26064

-

7

6720840

9142857

11

557369659800

930909090909

13

170254993774320

315076923076923

17

16967141974565951040

38550588235294117647

19

-

13797052631578947368421

 

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