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Primi di Lucas – Wieferich

Teoria dei numeri 

I primi di Lucas – Wieferich sono definiti in modo analogo ai primi di Wall – Sun – Sun, considerando numeri di Fibonacci generalizzati al posto dei numeri di Fibonacci: sono i numeri primi dispari r che non dividono p2 – 4q, tali che U(r – Legendre(p^2 – 4 * q | r) ≡ 0 mod r^2, dove Un è la sequenza di numeri di Fibonacci generalizzati definita come U0 = 0, U1 = 1, Un = pUn – 1qUn – 2Simbolo di Legendre (p^2 – 4 * q | r) è il simbolo di Legendre.

 

Il caso più studiato è quello in cui q = –1, nel quale caso la definizione equivale a una delle seguenti:

  • sono i primi dispari r che non dividono p2 + 4, tali che r2 divida UP(r), dove P(r) il periodo dei resti di Un modulo r;

  • sono i primi dispari r che non dividono p2 + 4, tali che Vrp mod r2, dove la sequenza Vn è la sequenza associata a Un, ed è definita come V0 = 2, V1 = p, Vn = pVn – 1qVn – 2;

  • sono i primi dispari r che non dividono p2 + 4, tali che U(r – Legendre(p^2 + 4 | r) ≡ 0 mod r^2, dove Simbolo di Legendre (p^2 + 4 | r) è il simbolo di Legendre.

La definizione è spesso allargata, tramite le prime due definizioni, per includere 2 tra i primi di questa categoria; in questo modo 2 è un primo di Lucas – Wieferich per q = –1 se e solo se p è multiplo di 4.

 

3 è un primo di Lucas – Wieferich per q = –1 se e solo se p mod 9 è 0, 4 o 5.

 

Per p = 1, q = –1 abbiamo i primi di Wall – Sun – Sun e per p = 1, q = –1 abbiamo i primi di Pell – Wieferich; in particolare questi ultimi i sono i primi p tali che p2 divida Pp – 1, se p ≡ ±1 mod 8 o Pp + 1, se p ≡ ±3 mod 8, dove Pn è l’n-esimo numero di Pell. Gli unici primi di Pell – Wieferich noti sono: 13, 31 e 1546463; non ve ne sono altri inferiori a 1012 (John Blythe Dobson, 2015).

 

La tabella seguente mostra i primi di Lucas – Wieferich noti per q = –1 e p da 1 a 50 (Max Alekseyev, Felix Fröhlich e R.J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

p

Primi di Lucas – Wieferich

1

-

2

13, 31, 1546463

3

241

4

2, 3

5

3, 11

6

191, 643, 134339, 25233137

7

5

8

2

9

3, 204520559

10

2683, 3967, 18587

11

-

12

2, 7, 89, 257, 631

13

3, 227, 392893

14

3, 13, 31, 1546463

15

29, 4253

16

2, 1327, 8831, 569831

17

1192625911

18

3, 5, 11, 769, 256531, 624451181

19

11, 233, 165083

20

2, 7, 19301

21

23, 31, 193

22

3, 281

23

3, 103

24

2, 7, 11, 17, 37, 41, 1319

25

5, 7, 2687

26

79

27

3, 1663

28

2, 1431615389

29

7

30

23, 1277

31

3

32

2, 3

33

239

34

-

35

153794959

36

2, 3

37

7

38

17

39

30132289567

40

2, 3

41

3

42

-

43

5

44

2

45

3

46

41

47

139703

48

2

49

3

50

3

 

Per p uguale a 11, 34, 42 e 48 non si conoscono primi di Lucas – Wieferich dispari; se esistono sono maggiori di 1012 (Max Alekseyev, 2016).

 

I primi di Wieferich sono primi di Lucas – Wieferich per p = 3, q = 2.

 

Se p2 – 4q = r2 è un quadrato, tutti i primi dispari tranne i divisori di r sono primi di Lucas – Wieferich rispetto a p e q.

 

La tabella seguente mostra i primi di Lucas – Wieferich noti per p2 – 4q da 1 a 30 (Max Alekseyev, Felix Fröhlich e R.J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

p2 – 4q

Primi di Lucas – Wieferich

1

Tutti i primi dispari

2

13, 31, 1546463

3

103, 2297860813

4

Tutti i primi dispari

5

-

6

(3), 7, 523

7

-

8

13, 31, 1546463

9

Tutti i primi dispari, tranne 3

10

191, 643, 134339, 25233137

11

-

12

103, 2297860813

13

241

14

6707879, 93140353

15

(3), 181, 1039, 2917, 2401457

16

Tutti i primi dispari

17

-

18

13, 31, 1546463

19

79, 1271731, 13599893, 31352389

20

3

21

46179311

22

43, 73, 409, 28477

23

7, 733

24

7, 523

25

Tutti i primi dispari, tranne 5

26

2683, 3967, 18587

27

103, 2297860813

28

-

29

3, 11

30

-

 

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