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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura E
  5. 5. Congettura F
  6. 6. Congettura H
  7. 7. Congettura I
  8. 8. Congettura K
  9. 9. Congettura L
  10. 10. Congettura N
  11. 11. Congettura P

Esistono infiniti valori di m tali che m2 + 1 sia primo; il numero di primi di tale forma minori di n tende, per n tendente a infinito, a Limite asintotico cui tende il numero di primi della forma m^2 + 1 non superiori a n.

 

Già Eulero aveva notato che vi sono numerosi primi di questa forma, ma non aveva formulato ipotesi precise.

 

I minimi valori di m che producono primi inferiori a 100 sono: 1, 2, 4, 6, 10, 14, 16, 20, 24, 26, 36, 40, 54, 56, 66, 74, 84, 90 e 94.

Qui trovate i valori di m che producono primi inferiori a 1000000.

 

Iwaniec dimostrò nel 1978 che esistono infiniti numeri di questa forma che sono primi o semiprimi.

 

Marek Wolf propose nel 2010 Limite asintotico di Wolf del numero di primi delle forma m^2 + 1 non superiori a n come stima migliore, asintoticamente equivalente.

 

La tabella seguente mostra l’accordo tra i dati disponibili e le previsioni (Marek Wolf, 2010).

n

Primi della forma m2 + 1 minori di n

Limite asintotico di Hardy e Littlewood del numero di primi delle forma m^2 + 1 non superiori a n, arrotondato all’intero più vicino

Limite asintotico di Wolf del numero di primi delle forma m^2 + 1 non superiori a n, arrotondato all’intero più vicino

10

2

2

2

102

4

3

4

103

10

6

9

104

19

15

21

105

51

38

49

106

112

99

122

107

316

269

318

108

841

745

855

109

2378

2095

2357

1010

6656

5962

6610

1011

18822

17140

18788

1012

54110

49684

53971

1013

156081

145028

156386

1014

456362

425861

456405

1015

1339875

1256911

1340088

1016

3954181

3726283

3955219

1017

11726896

11090393

11726332

1018

34900213

33122517

34903257

1019

104248948

99229828

104251561

1020

312357934

298102656

312353237

 

La somma dei reciproci dei primi della forma m2 + 1 converge a una costante, analoga alla costante di Brun, che vale circa 0.8145965717 (Marek Wolf, 2010).

 

Si tratta di un caso particolare congettura F e quindi della congettura di Bunyakovsky, noto anche come “congettura di Landau”, ma con una stima del numero di primi.

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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