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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura C
  5. 5. Congettura D
  6. 6. Congettura E
  7. 7. Congettura F
  8. 8. Congettura G
  9. 9. Congettura H
  10. 10. Congettura I
  11. 11. Congettura J
  12. 12. Congettura K
  13. 13. Congettura L
  14. 14. Congettura M
  15. 15. Congettura N
  16. 16. Congettura P

Godfrey Harold Hardy (Cranleigh, Inghilterra, 1877 – Cambridge, 1/12/1947) e John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 1885 – Cambridge, 7/9/1977) avanzarono nel 1923 una serie di congetture sui numeri primi.

Sono tutte ritenute vere, l’evidenza sperimentale, basata sull’esame di numeri via via più grandi sembra confermarle, ma nessuna è stata sinora dimostrata.

 

I due matematici diedero alle loro congetture un nome, costituito da una lettera dell’alfabeto; a tutt’oggi si usa riferire le congetture in tal modo, pertanto mantengo la nomenclatura.

 

La congettura più famosa, dalla quale altre, come la congettura B, derivano come conseguenza, è che se non esistono semplici condizioni di divisibilità che impediscano ai numeri p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mk di essere tutti primi (condizione di Bunyakovsky, v. congettura di Bunyakovsky), la frazione dei valori di p non superiori a n tali che p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mk, siano primi tende a Frazione asintotica dei valori di p non superiori a n che rendono primi tutti i numeri, dove Valore di C(m(1), m(2), ... m(n)), dove il prodotto va calcolato sui primi dispari e w(q; m1, m2, ... mk) è il numero di differenti residui di 0, m1, m2, ... mk modulo q.

La congettura specifica la densità asintotica dei primi in un caso particolare della congettura di Dickson ed è generalizzata dalla congettura di Bateman – Horn.

 

Questa congettura è però incompatibile con quella degli stessi matematici, altrettanto plausibile e supportata da dati sperimentali, che per x e y maggiori di 1 valga π(x + y) ≤ π(x) + π(y), nel senso che le due congetture non possono essere entrambe vere, come dimostrarono D. Hensley e I. Richards nel 1974.

In particolare la condizione di Bunyakovsky è soddisfatta da 447 interi in un insieme di 3160 interi consecutivi, pertanto se la prima congettura è vera, deve esistere un intero n a partire dal quale ci sono 447 numeri primi tra 3160 interi consecutivi, ma vi sono solo 446 primi non superiori a 3159 e quindi π(n + 3159) = π(n) + 447 > π(n) + π(3159) = π(n) + 446.

 

L’opinione prevalente è che la seconda congettura sia falsa, ma che le eccezioni coinvolgano numeri enormi: se la prima congettura fosse vera, infatti, la minima eccezione dovrebbe essere per 1.5 • 10174 < n < 2.2 • 101198.

Sono però stati dimostrati vari casi particolari:

  • nel 1958 A. Schinzel e W. Sierpiński dimostrarono che la congettura è vera se il minimo tra x e y non supera 132, limite portato a 146 da Schinzel nel 1961 e a 1731 da D.M. Gordon e G. Rodemich nel 1998;
  • nel 1962 S. Segal verificò che la congettura vale per x + y ≤ 101081;
  • nel 1975 V. St. Udresco dimostrò che la seconda congettura è vera per x e y abbastanza grandi;
  • nel 1979 H.G. Kopetzky e W. Schwarz dimostrarono il caso particolare π(2x) ≤ 2π(x) per x > 2;
  • nel 2000 L. Panaitopol dimostrò che la congettura è vera se y / 29 ≤ x ≤ y e se π(y) ≤ xy;
  • nel 2001 L. Panaitopol verificò che la congettura vale per x + y ≤ 3497861;
  • nel 2002 P. Dusart dimostrò che la congettura è vera se y / 109 ≤ x ≤ y e se εyxy e y ≥ e^(3.1 / log(1 + ε)), migliorando il risultato di Udrescu;
  • nel 2019 Christian Axler dimostrò che la congettura è vera se y / 1950 ≤ x ≤ y, se εyxy e y ≥ e^sqrt(0.3426 / log(1 + ε)), se 0.70881678090424862707121 * y / log(y)^2 ≤ x ≤ y o, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, se sqrt(y) * log(y) * log(y *log(y)^8) / (4 * π) ≤ x ≤ y e che è vera per x + y ≤ 39708229123.

Queste dimostrazioni però dipendono dal rapporto tra x e y, quindi non bastano per affermare che la prima congettura sia falsa.

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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