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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura E
  5. 5. Congettura F
  6. 6. Congettura H
  7. 7. Congettura I
  8. 8. Congettura K
  9. 9. Congettura L
  10. 10. Congettura N
  11. 11. Congettura P

Godfrey Harold Hardy (Cranleigh, Inghilterra, 1877 – Cambridge, 1/12/1947) e John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 1885 – Cambridge, 7/9/1977) avanzarono nel 1923 una serie di congetture sui numeri primi.

Sono tutte ritenute vere, l’evidenza sperimentale, basata sull’esame di numeri via via più grandi sembra confermarle, ma nessuna è stata sinora dimostrata.

 

I due matematici diedero alle loro congetture un nome, costituito da una lettera dell’alfabeto; a tutt’oggi si usa riferire le congetture in tal modo, pertanto mantengo la nomenclatura.

 

La congettura più famosa, dalla quale altre, come la congettura B, derivano come conseguenza, è che se non esistono semplici condizioni di divisibilità che impediscano ai numeri p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mk di essere tutti primi (condizione di Bunyakovsky, v. congettura di Bunyakovsky), la frazione dei valori di p non superiori a n tali che p, p + 2m1, p + 2m2, ... p + 2mk, siano primi tende a Frazione asintotica dei valori di p non superiori a n che rendono primi tutti i numeri, dove Valore di C(m(1), m(2), ... m(n)), dove il prodotto va calcolato sui primi dispari e w(q; m1, m2, ... mk) è il numero di differenti residui di 0, m1, m2, ... mk modulo q.

La congettura specifica la densità asintotica dei primi in un caso particolare della congettura di Dickson ed è generalizzata dalla congettura di Bateman – Horn.

 

Questa congettura è però incompatibile con quella degli stessi matematici, altrettanto plausibile e supportata da dati sperimentali, che per x e y maggiori di 1 valga π(x + y) ≤ π(x) + π(y), nel senso che le due congetture non possono essere entrambe vere, come dimostrarono Hensley e I. Richards nel 1974.

In particolare la condizione di Bunyakovsky è soddisfatta da 447 interi in un insieme di 3160 interi consecutivi, pertanto se la prima congettura è vera, deve esistere un intero n a partire dal quale ci sono 447 numeri primi tra 3160 interi consecutivi, ma vi sono solo 446 primi non superiori a 3159 e quindi π(n + 3159) = π(n) + 447 > π(n) + π(3159) = π(n) + 446.

L'opinione prevalente è che sia la seconda congettura a essere falsa, ma le eccezioni potrebbero coinvolgere numeri enormi: se la prima congettura è vera, la minima eccezione dovrebbe essere per 1.5 • 10174 < n < 2.2 • 101198.

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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