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Heilbronn (costanti di)

Geometria 

Il problema di Heilbronn consiste nel disporre 3 o più punti in un quadrato di lato unitario, in modo da rendere massima l’area del più piccolo triangolo avente per vertici tre dei punti.

Si chiama “costante di Heilbronn Hn” l’area del minimo triangolo con n punti.

 

Per 3 o 4 punti la disposizione migliore degli stessi è ai vertici del quadrato e le corrispondenti costanti di Heilbronn sono Costanti di Heilbronn H(3) e H(4).

 

La miglior disposizione con 5 punti, dimostrata tale da L. Yang, J.Z. Zhang e Z.B. Zeng nel 1991, è mostrata nella figura seguente.

 

 Miglior disposizione di 5 punti in un quadrato

 

La disposizione è simmetrica rispetto alla diagonale del quadrato, i punti B ed E distano Distanza dei punti B ed E dal vertice più vicino dal vertice più vicino, e i punti C e D distano Distanza dei punti C e D dal vertice più vicino dal vertice più vicino. In questo modo i triangoli con la minima area sono ABC, ADE, CDE e DEB, con area Costante di Heilbronn H(5).

 

La miglior disposizione con 6 punti, trovata da M. Goldberg nel 1972 e dimostrata ottima da L. Yang, J.Z. Zhang e Z.B. Zeng nel 1992, è mostrata nella figura seguente.

 

Miglior disposizione di 6 punti in un quadrato

 

I punti C e F sono a metà di due lati opposti, gli altri distano Distanza dei punti A, B, D ed E dal vertice più vicino dal vertice più vicino,. In questo modo i triangoli con la minima area sono AEF, BCD, DEF, CDE, ABF e ABC, con area Costante di Heilbronn H(6).

 

Non si possono collocare 3 punti sullo stesso lato, perché costituirebbero i vertici di un triangolo di area nulla, quindi se i punti sono più di 8, qualcuno deve trovarsi all’interno del quadrato.

 

Per valori di n maggiori di 6 le migliori disposizioni di punti note non sono state dimostrate ottimali e quindi per i corrispondenti valori di Hn è noto solo un limite inferiore. La tabella seguente riporta i migliori risultati noti.

n

Hn

3

Costante di Heilbronn H(3)

4

Costante di Heilbronn H(4)

5

Costante di Heilbronn H(5)

6

Costante di Heilbronn H(6)

7

0.0838590090, la minima radice positiva dell’equazione 152x3 + 12x2 – 14x + 1 = 0

8

Valore minimo della costante di Heilbronn H(8)

9

Valore minimo della costante di Heilbronn H(9)

10

≥ 0.0465374196, la minima radice positiva dell’equazione 3456x3 – 1764x2 + 268x – 1 = 0

11

Valore minimo della costante di Heilbronn H(11)

12

≥ 0.0325988587, la radice positiva dell’equazione 64x3 + 80x2 + 28x – 1 = 0

13

≥ 0.0266974318

14

≥ 0.0243039796, la minima radice positiva dell’equazione 320x3 + 768x2 – 60x + 1 = 0

15

Valore minimo della costante di Heilbronn H(15)

16

Valore minimo della costante di Heilbronn H(16)

I valori da H7 a H12 si devono a F. Comellas e J.L.A. Yebra (2001).

 

Heilbronn suppose che Hn tenda a Limite asintotico supposto da Heilbronn per H(n) per una costante c da determinare e Paul Erdös dimostrò che in effetti questo è un limite inferiore per i valori di Hn. La dimostrazione di Erdös è, come sempre, semplice e geniale: per n primo, fissato un sistema di coordinate con l’origine nel vertice inferiore sinistro, si collocano i punti a coordinate Coordinate dei punti, per k da 0 a n – 1, ottenendo triangoli di area minima Area minima dei triangoli. Per n non primo ci si riconduce alla soluzione per il minimo primo superiore. In modo simile si può dimostrare che Limite superiore per H(n).

I limiti furono progressivamente migliorati:

  • K.F. Roth dimostrò nel 1951 che Limite superiore per H(n) per una costante c;

  • Schmidt dimostrò nel 1971 che Limite superiore per H(n) per una costante c;

  • K.F. Roth dimostrò che Limite superiore per H(n) per una costante c e ε piccolo a piacere, prima per Formula per k (1971), poi per Formula per k (1976);

  • J. Komlós, J. Pintz e E. Szemerédi dimostrarono nel 1981 che esistono due costanti c1 e c2 tali che Limiti inferiore e superiore per H(n) per qualsiasi ε arbitrarimente piccolo e n abbastanza grande.

 

Il problema è stato riproposto per punti entro figure differenti.

Nel caso di un cerchio di area 1, la miglior disposizione fino a 6 punti è ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto e il triangolo minimo, che ha per vertici 3 punti consecutivi lungo la circonferenza, ha area Area dei triangoli minimi.

Per valori maggiori di n le migliori disposizioni di punti note non sono state dimostrate ottimali e quindi per i corrispondenti valori di HC, n è noto solo un limite inferiore. Per 7 punti la miglior disposizione nota consiste ancora nel mettere i punti sulla circonferenza, ma per numeri maggiori di punti alcuni vanno all’interno del cerchio.

La tabella seguente riporta i migliori risultati noti.

n

HC, n

3

Costante di Heilbronn HC(3)

4

Costante di Heilbronn HC(4)

5

Costante di Heilbronn HC(5)

6

Costante di Heilbronn HC(6)

7

Valore minimo della costante di Heilbronn HC(7)

8

≥ 0.0690547418, la minima radice positiva dell’equazione x6 – 7x4 + 14x2 – 7 = 0, divisa per 4π

9

≥ 0.0553107190

10

Valore minimo della costante di Heilbronn HC(9)

11

≥ 0.0349419334

12

≥ 0.0333956035

13

≥ 0.0272658633

14

≥ 0.0241461130

15

≥ 0.0222942723

16

≥ 0.0210513493, la minima radice positiva dell’equazione 976x5 + 3776x4 + 476x3 + 452x2 + 103x – 9 = 0, divisa per π

 

Il problema è stato proposto anche per triangoli di area unitaria, nel qual caso la costante non dipende dalla forma del triangolo.

Anche nel caso del triangolo le disposizioni trovate sono state dimostrate ottimali solo fino a n = 6, mentre per valori maggiori di n è noto solo un limite inferiore per i corrispondenti valori di HT, n.

La tabella seguente riporta i migliori risultati noti.

n

HT, n

3

1

4

Costante di Heilbronn HT(4)

5

Costante di Heilbronn HT(5)

6

Costante di Heilbronn HT(6)

7

Valore minimo della costante di Heilbronn HT(7)

8

≥ 0.0677891410

9

Valore minimo della costante di Heilbronn HT(9)

10

≥ 0.0433767335

11

≥ 0.0360926780

12

≥ 0.0310047817

13

≥ 0.0245642593

14

≥ 0.0237757730

15

≥ 0.0210902529

16

≥ 0.0179762760

 

Il minimo numero di aree differenti dei triangoli aventi per vertici n punti nel piano è compreso tra 0.32n – 1 e Limite superiore per il minimo numero di aree differenti dei triangoli aventi per vertici n punti.

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