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Keller (congettura di)

Congetture  Geometria  Teoria dei grafi 

Eduard Ott-Heinrich Keller (Francoforte sul Meno, Germania, 22/6/1906 – Halle, Germania, 1990) studiando nel 1930 la congettura di Minkowski, suppose di poter rimuovere la condizione che i centri degli ipercubi siano ai vertici di un reticolo regolare. Avanzo cioè la congettura che riempiendo completamente uno spazio a n dimensioni con ipercubi uguali, almeno due di essi devono avere una faccia a n – 1 dimensioni in comune.

 

Nel caso di due dimensioni, per esempio, si può riempire il piano con quadrati (l’equivalente bidimensionale degli ipercubi) uguali in modo irregolare, come mostra la figura seguente, ma ve ne sono per forza infiniti con un lato (faccia a una dimensione) in comune.

 

Piano riempito di quadrati uguali

 

 

Analogamente in tre dimensioni si può riempire lo spazio con cubi disposti in colonne o strati irregolarmente sfasati tra loro, ma vi saranno sempre infinite coppie di cubi con una faccia in comune.

 

A partire da tre dimensioni non è necessario che i cubi abbiano facce parallele agli assi: per esempio, li si può disporre in strati e ogni strato può essere ruotato indipendentemente dagli altri.

 

La versione originale della congettura era che deve esistere almeno un allineamento infinito di ipercubi, ciascuno con due facce opposte in comune con altri due, ossia devono esistere “colonne” infinite di ipercubi con facce in comune. In seguito gli esperti preferirono lavorare sulla versione più debole, che richiede la presenza di due soli cubi con una faccia comune; le due versioni sono comunque equivalenti, tranne forse in 7 dimensioni.

 

Per quanto possa sembrare ovvia, la dimostrazione in due o tre dimensioni non è immediata e sebbene la differenza rispetto alla congettura di Minkowski possa sembrare marginale, rende falsa la congettura in dimensioni elevate.

 

Nel 1940 Oskar Perron (Frankenthal, Germania, 7/5/1880 – Monaco di Baviera, Germania, 22/11/1975) dimostrò che la congettura è vera in in dimensioni fino a 6.

 

Nel 1990 K. Corrádi e S. Szabó stabilirono una connessione tra la congettura e un particolare grafo, detto “grafo di Keller Kn”; che ha 4n nodi, etichettabili tramite un vettore di coordinate (m1, m2, … mn), dove i vari mk hanno valori da 0 a 3, in tutte le combinazioni possibili. Due nodi sono uniti da un arco se e solo se differiscono per almeno due coordinate e di almeno 2 modulo 4 in una.

I due matematici dimostrarono che su di esso la dimensione massima di una “clique”, ossia un sottoinsieme dei nodi non connessi tra loro, è 2n e se una clique di tale dimensione esiste, vi è un controesempio alla congettura di Keller in n dimensioni. Infatti, data una tale clique, si può riempire lo spazio di ipercubi di spigolo 2, le coordinate dei centri dei quali sono uguali modulo 4 alle coordinate dei nodi della clique. La condizione che due nodi della clique abbiano almeno una coordinata che differisce di 2 garantisce che i cubi corrispondenti non si sovrappongano e la condizione che la clique sia formata da 2n nodi implica che i cubi, ciascuno dei quali ha volume 2n, abbiano lo stesso volume totale del blocco che, ripetuto periodicamente, riempie lo spazio e dato che non si sovrappongono, tali cubi riempiono lo spazio. Infine la condizione che i centri abbiano almeno due coordinate diverse garantisce che non abbiano facce in comune.

Questo risultato permise a J.C. Lagarias e P.W. Shor di dimostrare nel 1992 che la congettura è falsa in 12 dimensioni, costruendo una clique di 212 punti su K12, e poco dopo in 10; nel 2002 J. Mackey dimostrò che è falsa in 8 dimensioni.

Se la congettura è falsa in una dimensione, lo è anche in tutte quelle superiori, quindi l’unico caso insoluto è quello di 7 dimensioni.

Jennifer Debroni, John D. Eblen, Michael A. Langston, Peter Shor, Wendy Myrvold e Dinesh Weerapurage dimostrarono nel 2011 che la massima clique su K7 ha dimensione 124, ma la non esistenza di una clique di dimensione 128 non basta a escludere la possibilità di un controesempio, esclude solo che esista un controesempio con una distribuzione regolare di cubi di spigolo 2 con tutte le coordinate dei centri intere.

La massima clique su Kn ha dimensione 2nn, per n da 2 a 4, 2n – 4, per n da 4 a 7 e 2n, per n maggiore di 7.

 

Nel 1979 Raphael M. Robinson dimostrò che la congettura è vera nel piano anche se lo si ricopre con quadrati un numero k finito di volte, in modo che ogni punto, ad esclusione di quelli sui perimetri, sia all’interno di esattamente k quadrati. Sándor Szabó dimostrò nel 1982 che è invece falsa in 3 o più dimensioni se k > 1.

Bibliografia

  • Keller, Eduard Ott-Heinrich;  "Über die luckenlose Einfullung des Raumes mit Wurfeln" in J. reine angew. Math., n. 163, 1930, pag. 231 – 248.
  • Lagarias, J.C.;  Shor, P.W.;  "Keller’s Cube-Tiling Conjecture Is False in High Dimensions" in Bulletin of the American Mathematical Society, n. 27, 1991, pag. 279 – 283.
  • Mackey, J.;  "A Cube Tiling of Dimension Eight with No Facesharing" in Disc. Comput. Geom., n. 28, 2002, pag. 275 – 279.
  • Perron, Oskar;  "Über lückenlose Ausfüllung des n-dimensionalen raumes durch kongruente Würfel I & II" in Math. Z., n. 46, 1940, pag. 1 – 26 e 161 – 180.

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