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Minkowski (congettura di)

Congetture  Geometria 

Nel 1896, esaminando problemi di approssimazione di numeri reali tramite razionali, Hermann Minkowski (Kaunas, Lituania 22/6/1864 – Gottinga, Germania, 12/1/1909) avanzò la congettura che riempiendo completamente uno spazio a n dimensioni con ipercubi uguali, con centri in corrispondenza di tutti i punti di un reticolo regolare, almeno due di essi devono avere una faccia a n – 1 dimensioni in comune.

Nel caso di due dimensioni, per esempio, si può riempire il piano con quadrati (l’equivalente bidimensionale degli ipercubi), come mostra la figura seguente, nella quale il reticolo è mostrato in rosso, ma ve ne sono per forza infiniti con un lato (faccia a una dimensione) in comune.

 

Piano riempito di quadrati uguali, con centri nei punti di un reticolo regolare

 

 

Minkowski enunciò la congettura come teorema, senza dimostrazione, ma in un suo libro del 1907 la riportò come problema aperto, quindi forse pensava d’aver trovato una dimostrazione, accorgendosi poi di un errore.

 

Oskar Peron (Frankenthal, Germania, 7/5/1880 – Monaco di Baviera, Germania, 22/11/1975) dimostrò nel 1940 che la congettura è vera nelle dimensioni fino a 8.

 

György Hajós (Budapest, 21/2/1912 – Budapest, 17/3/1972) dimostrò nel 1942 che è vera in qualsiasi dimensione.

 

Nel 1930 Eduard Ott-Heinrich Keller (Francoforte sul Meno, Germania, 22/6/1906 – Halle, Germania, 1990) propose una generalizzazione, rimuovendo la condizione che i centri debbano trovarsi ai vertici di un reticolo regolare, ma questa versione si rivelò errata a partire da 8 dimensioni (v. congettura di Keller).

Vedi anche

Congettura di Keller.

Bibliografia

  • Hajós, György;  "Über einfache und mehrfache Bedeckung des n-dimensionalen Raumes mit einen Würfelgitter" in Math. Z., n. 47, 1942, pag. 427-467.
  • Perron, Oskar;  "Über lückenlose Ausfüllung des n-dimensionalen raumes durch kongruente Würfel I & II" in Math. Z., n. 46, 1940, pag. 1 – 26 e 161 – 180.

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