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Zumkeller (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Reinhard Zumkeller avanzò la congettura che per ogni primo p esista almeno un intero n tale che 2n + p sia primo.

 

La congettura si riferisce alla stessa rappresentazione degli interi tramite una somma di una potenza di 2 e un numero primo della congettura di de Polignac (I) e come questa ebbe vita breve.

Nel 2008 Charles Greathouse dimostrò infatti che la congettura è falsa: se p della forma 18446744073709551615k + m, per 64 valori di m, il minimo dei quali è 201446503145165177, i valori di 2n + p sono divisibili per uno dei primi 3, 5, 17, 257, 641, 65537 o 6700417.

Il teorema di Dirichlet ci assicura che i primi di quella forma sono infiniti; Greathouse dimostrò che il minimo tra questi è 3367034409844073483.

 

Si aprì quindi la caccia al minimo controesempio; nel 2009 Bruno Mishutka dimostrò che per p = 271129 valori di 2n + p non sono mai primi.

Non è noto se esistano primi inferiori con la stessa proprietà.

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