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Potenti (numeri) (I)

Teoria dei numeri 

Nel 1970 Samuel W. Golomb definì “potenti” i numeri divisibili solo per quadrati o potenze superiori di numeri primi, cioé che nella scomposizione non hanno fattori primi alla prima potenza.

I numeri potenti si possono sempre esprimere come prodotto di un quadrato per un cubo.

 

I numeri che non sono potenti sono talvolta chiamati “deboli”.

 

I numeri potenti minori di 1000 sono: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972.

Qui trovate i numeri potenti minori di 107.

 

Si chiamano “n-potenti” i numeri divisibili solo per potenze di numeri primi di esponente uguale o superiore a n; i numeri 2-potenti sono quindi i numeri potenti.

 

La somma dei reciproci dei numeri potenti è Somma dei reciproci dei numeri potenti.

Alle voci frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della somma.

Qui trovate le prime 1001 cifre decimali della somma.

 

Nel 1935 Erdös e Szekeres dimostrarono che per il numero p(n) di interi potenti non superiori a n vale Limite asintotico per il numero di interi potenti non superiori a n (v. costante di Erdös – Szekeres). Inoltre Limiti inferiore e superiore per il numero di interi potenti non superiori a n.

 

Jean-Marie De Koninck, Florian Luca e Igor E. Shaparlinski dimostrarono nel 2005 che:

  • esistono infiniti valori di n tali che gli interi k-potenti nell’intervallo (nk .. (n + 1)k) sono almeno Numero minimo di interi interi k-potenti nell’intervallo (n^k .. (n + 1)^k) (si noti che l’intervallo non contiene potenze k-esime);

  • nell’intervallo (n .. n + k) vi sono al massimo Numero massimo di interi interi potenti nell’intervallo (n .. n + k) numeri potenti, per una costante C sconosciuta;

  • dalla congettura “abc” segue che per ogni ε > 0 e n abbastanza grande, vi è al massimo un numero k-potente nell’intervallo Intervallo che contiene al massimo un intero k-potente.

 

Alcune somme che coinvolgono i numeri potenti:

Somma che coinvolge i numeri potenti, dove la somma va calcolata sui numeri potenti.

Somma che coinvolge i numeri potenti, dove la somma va calcolata sui numeri 4-potenti;

Somma che coinvolge i numeri potenti, dove la somma va calcolata sui numeri k-potenti e il prodotto va calcolato sui primi.

 

R.A. Mollin e P.G. Walsh dimostrarono nel 1986 che se x e n sono interi primi tra loro:

  • se x e n hanno parità opposta, x + n e xn sono entrambi potenti se e solo se l’equazione x2n2 = my2 ha soluzioni intere con y multiplo di m;

  • se x e n sono dispari, (x + n) / 2(x – n) / 2 sono entrambi potenti se e solo se l’equazione x2n2 = my2 ha soluzioni intere con y multiplo di 2m.

 

Florian Luca dimostrò che esistono infiniti numeri potenti della forma n2 + 3; i primi sono: 4 = 12 + 3, 1732 = 372 + 3, 6272006419 = 791962 + 3, 31624575892 = 1778332 + 3, 93469044701079780103 = 96679390102 + 3, 6374655186945935706615682630955733532 = 25248079505075105232 + 3.

Patrick Letendre dimostrò che più in generale se vi è un numero potente della forma n2 + k che non sia un quadrato, ve ne sono infiniti della stessa forma.

Si conoscono invece solo due numeri potenti della forma n3 + 1: 9 = 32 = 23 + 1 e 12168 = 2332132 = 233 + 1; se la congettura “abc” è vera, ve ne è un numero finito.

 

P. Ribenboim nel 1988 dimostrò che:

  • esistono infiniti numeri potenti della forma n2 – 1;

  • fissati a e h, i valori di k per i quali esistono interi della forma n2 – 1 esprimibili come ahbk con b > 1 sono in numero finito;

  • fissati a e h, gli interi della forma n2 – 1 esprimibili come ahbk sono in numero finito.

 

Wenpeng Zhang e Tingting Wang dimostrarono nel 2012 che se p è un primo maggiore di 3, non esistono numeri potenti della forma Prodotto di k^p + 1, per k da 1 a n.

 

Il minimo numero potente della forma x2 + y2, con x e y primi tra loro, è 32 + 42 = 25 = 52.

Il minimo numero potente della forma x3 + y3, con x e y primi tra loro, è 13 + 23 = 9 = 32; il successivo è 113 + 133 = 3528 = 23212.

Il minimo numero potente noto della forma x4 + y4, con x e y primi tra loro, è 4275111224 + 13220492094 = 3088257489493360278725196965477359217 = 173250716761615824972 (Noam D. Elkies, 2014).

 

Il minimo numero potente della forma x2y2, con x e y primi tra loro e y maggiore di zero, è 52 – 42 = 9 = 32.

Il minimo numero potente della forma x3y3, con x e y primi tra loro e y maggiore di zero, è 83 – 73 = 169 = 132; il successivo è 113 – 23 = 1323 = 3372.

Il minimo numero potente noto della forma x4y4, con x e y primi tra loro e y maggiore di zero, è 101136074 − 43199994 = 10113945896553678899919381600 = 6368427935519902. (Noam D. Elkies, 2014).

 

Esistono infinite coppie di numeri potenti consecutivi (Golomb, 1970); per esempio se x e y sono soluzioni intere dell’equazione di Fermat – Pell x2k3y2 = ±1, che ha infinite soluzioni per ogni valore di k, x2 e k3y2, sono interi potenti consecutivi. Per esempio, una soluzione dell’equazione x2 – 33y2 = 1 è x = 26, y = 5 e 262 = 676 e 3352 = 675 sono numeri potenti consecutivi.

Analogamente se x e y sono soluzioni intere dell’equazione x2 – 2y2 = ±1 (v. numeri di Pell), 23x2y2 e (x2 + 2y2)2 sono numeri potenti consecutivi (Golomb, 1970). Per esempio, da x = 7, y = 5 otteniamo i numeri potenti consecutivi 237252 = 9800 e (72 + 2 • 52)2 = 9801.

Inoltre se a e b sono numeri potenti consecutivi, lo sono anche 4ab e 4ab + 1 (Golomb, 1970); per esempio, da 288 e 289 si ottengono in questo modo 332928 = 27512 e 332929 = 5772.

Analogamente se a e a + 4 sono numeri potenti con differenza 4, lo sono anche a(a + 4) e a(a + 4) + 4. Per esempio, da 32 e 36 si ottengono in questo modo 1152 = 2732 e 1156 = 342.

 

Le coppie di numeri potenti consecutivi minori di 1022 sono (Jason Earls, Donovan Johnson, Jud McCranie, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

  • (8, 9);

  • (288, 289);

  • (675, 676);

  • (9800, 9801);

  • (12167, 12168);

  • (235224, 235225);

  • (332928, 332929);

  • (465124, 465125);

  • (1825200, 1825201);

  • (11309768, 11309769);

  • (384199200, 384199201);

  • (592192224, 592192225);

  • (4931691075, 4931691076);

  • (5425069447, 5425069448);

  • (13051463048, 13051463049);

  • (221322261600, 221322261601);

  • (443365544448, 443365544449);

  • (865363202000, 865363202001);

  • (8192480787000, 8192480787001);

  • (11968683934831, 11968683934832);

  • (13325427460800, 13325427460801);

  • (15061377048200, 15061377048201);

  • (28821995554247, 28821995554248);

  • (48689748233307, 48689748233308);

  • (511643454094368, 511643454094369);

  • (1558709801289000, 1558709801289001);

  • (17050177433963583, 17050177433963584);

  • (17380816062160328, 17380816062160329);

  • (36005300067391875, 36005300067391876);

  • (208241673295152024, 208241673295152025);

  • (590436102659356800, 590436102659356801);

  • (1402766523033033600, 1402766523033033601);

  • (1610006506595061124, 1610006506595061125);

  • (20057446674355970888, 20057446674355970889);

  • (97286307456665386800, 97286307456665386801);

  • (117725514040791821024, 117725514040791821025);

  • (161461422688535037152, 161461422688535037153);

  • (681362750825443653408, 681362750825443653409);

  • (3887785221910670811499, 3887785221910670811500).

 

Erdös chiese se esistano infinite coppie nelle quali nessuno dei due numeri sia un quadrato o una potenza e Jaroslaw Wroblewski dimostrò che la risposta è affermativa, perché l’equazione 33x2 + 1 = 73y2 ha infinite soluzioni intere.

Più in generale infinite soluzioni nelle quali nessuno dei due numeri è un quadrato si ottengono risolvendo l’equazione m3x2k3y2 = ±1, con m e k non quadrati.

Le coppie di numeri potenti consecutivi e tali che nessuno dei due sia un quadrato minori di 1022 sono (Jason Earls, Donovan Johnson, Jud McCranie, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

  • (12167, 12168);

  • (5425069447, 5425069448);

  • (11968683934831, 11968683934832);

  • (28821995554247, 28821995554248);

  • (48689748233307, 48689748233308);

  • (161461422688535037152, 161461422688535037153);

  • (3887785221910670811499, 3887785221910670811500);

 

Le uniche coppie note di interi consecutivi, l’uno potente, l’altro 3-potente sono 8, 9 e 12167, 12168.

 

Erdös, Mollin e Walsh congetturarono che non esistano tre numeri potenti consecutivi (v. congetture di Erdös sui numeri potenti).

 

Se la congettura “abc” (tuttora non dimostrata) fosse vera, ne seguirebbe che:

  • le terne numeri potenti consecutivi, se esistono, sono in numero finito;

  • per qualsiasi valore positivo di ε, le coppie di numeri potenti con differenza fissata e minori di n sono meno di nε per n abbastanza grande;

  • per ogni coppia di interi a e b, maggiori di zero e primi tra loro, gli interi della forma an ± bn che sono potenti è finito; in particolare i numeri di Mersenne e di Fermat potenti sono in numero finito;

  • i numeri di Fibonacci e di Lucas (I) potenti o multipli di numeri potenti sono in numero finito.

 

Esistono però infinite progressioni aritmetiche di numeri potenti di qualsiasi lunghezza: (2n + 1 – 1)n, 2n(2n + 1 – 1)n, (2n + 1 – 1)n + 1 sono 3 numeri n-potenti in progressione aritmetica e da ogni progressione, anche solo di 2 termini, se ne possono ricavare di lunghezza grande a piacere: se a1, a2, a3, ... an è una progressione di n termini di numeri k-potenti, con differenza d tra termini successivi e k > 1, a1(an + d)k, a2(an + d)k, a3(an + d)k, ... an(an + d)k, (an + d)k + 1 è una progressione di n + 1 termini.

 

Esistono infiniti insiemi di n numeri k-potenti, tali che la loro somma sia k-potente, perché per ogni numero naturale m Somma di numeri k-potenti, che è un numero k-potente. Per esempio, per m = 3, n = 4 e k = 3 abbiamo Somma di m^r, per r da 1 a n – 1, per m = 3 e n = 4 e 33403 + 34403 + 35403 + 36403 = 1728000 + 5184000 + 15552000 + 46656000 = 69120000 = 33404.

 

Erdös avanzò nel 1975 la congettura che esistano infinite esistono infinite terne di numeri naturali 3-potenti x, y e z primi tra loro tali che x + y = z.

Abderrahmane Nitaj dimostrò nel 1995 che la congettura è vera e J.H.E. Cohn dimostrò nel 1998 che esistono infinite terne del genere nei quali nessuno dei numeri è un cubo (per le dimostrazioni v. congetture di Erdös sui numeri potenti).

 

Nel 1988 Heath-Brown dimostrò che, come Erdös aveva supposto (v. congetture di Erdös sui numeri potenti) ogni numero abbastanza grande si può esprimere come somma di al massimo tre numeri potenti. Non è però noto dove si collochi il limite; gli unici numeri noti che non possono essere espressi come somma di tre numeri potenti sono 7, 15, 23, 87, 111 e 119.

Lo stesso matematico avanzò la congettura che ogni intero abbastanza grande possa essere rappresentato come x2 + y2 + 53z2, ossia come somma di tre numeri potenti di una forma ben precisa, ma sinora non è stata provata.

 

Esistono invece infiniti interi che non possono essere espressi come somma di due numeri potenti.

 

Potrebbero esistere infiniti interi che non possono essere espressi come somma di esattamente tre numeri potenti.

 

La tabella seguente riporta le rappresentazioni degli interi fino a 20 come somma di fino a 3 numeri potenti.

Numero

Rappresentazioni

1

1

2

1 + 1

3

1 + 1 + 1

4

4

5

4 + 1

6

4 + 1 + 1

7

-

8

4 + 4, 8

9

4 + 4 + 1, 8 + 1, 9

10

8 + 1 + 1, 9 + 1

11

9 + 1 + 1

12

4 + 4 + 4, 8 + 4

13

8 + 4 + 1, 9 + 4

14

9 + 4 + 1

15

-

16

8 + 4 + 4, 8 + 8, 16

17

8 + 8 + 1, 9 + 4 + 4, 9 + 8, 16 + 1

18

9 + 8 + 1, 9 + 9, 16 + 1 + 1

19

9 + 9 + 1

20

8 + 8 + 4, 16 + 4

 

Il numero di rappresentazioni di un intero come somma di tre numeri potenti tende a infinito al crescere del numero. La tabella seguente riporta i minimi e massimi interi noti che abbiano n rappresentazioni diverse, per n da 0 a 6.

n

Minimo intero

Massimo intero

0

7

119

1

1

399

2

8

1263

3

9

1335

4

17

2103

5

33

1991

 

I numeri dispari e i multipli di 4 possono essere espressi come differenza di quadrati, ma i numeri pari e non multipli di 4 no; anzi, per alcuni numeri del genere a partire da 6 non si conoscono rappresentazioni come differenza di potenze. Si pose così la questione se tali numeri possano essere rappresentati come differenza di due numeri potenti e Golomb avanzò l’ipotesi che esistessero infinite eccezioni, a partire da 6.

Narkiewicz dimostrò pero che esistono infinite rappresentazioni del genere di 6, la minima delle quali è 6 = 5473 – 4632 = 214375 – 214369.

Richard B. Stanley dimostrò nel 1971 che ogni intero si può esprimere in infiniti modi come differenza di due numeri potenti primi tra loro.

Dato che l’equazione x2 – 8y2 = 1 ha infinite soluzioni, esistono infinite rappresentazioni di 1 come differenza di numeri potenti primi tra loro; nel 1976 D.T. Walker dimostrò che ve ne sono infinite come differenza di due numeri potenti che non siano potenze.

Nel 1981 Sentance dimostrò che esistono infinite rappresentazioni di 2 come differenza di numeri potenti primi tra loro. Le 4 con i minimi numeri sono: 33 – 52 = 27 – 25, 35172 – 2652 = 70227 – 70225, 113272 – 736172 = 130576329 – 130576327 e 3326512 – 137752 = 189750627 – 189750625.

R.A. Mollin e P.G. Walsh dimostrarono nel 1986 che le rappresentazioni di ogni intero sono infinite anche se si escludono i quadrati.

I modi restano infiniti anche se si escludono 1 e le potenze (quadrati, cubi ecc.), cioè se ci si limita ai numeri di Achille, o se si richiede che uno dei due numeri sia una potenza.

W.L. McDaniel e R.A. Mollin e quasi contemporaneamente P.G. Walsh e Vanden Eyden dimostrarono che esistono infinite rappresentazioni di ogni intero come differenza di numeri potenti primi tra loro.

 

La tabella seguente riporta le rappresentazioni degli interi fino a 20 come differenza di due numeri potenti non superiori a 109.

Numero

Rappresentazioni

1

9 – 8, 289 – 288, 676 – 675, 9801 – 9800, 12168 – 12167, 235225 – 235224, 332929 – 332928, 465125 – 465124, 1825201 – 1825200, 11309769 – 11309768, 384199201 – 384199200, 592192225 – 592192224

2

27 – 25, 70227 – 70225, 130576329 – 130576327, 189750627 – 189750625

3

4 – 1, 128 – 125, 1372 – 1369

4

8 – 4, 36 – 32, 125 – 121, 200 – 196, 972 – 968, 1156 – 1152, 2704 – 2700, 6728 – 6724, 15129 – 15125, 39204 – 39200, 48672 – 48668, 228488 – 228484, 940900 – 940896, 1331716 – 1331712, 1860500 – 1860496, 5724504 – 5724500, 7300804 – 7300800, 7761800 – 7761796, 45239076 – 45239072, 78961000 – 78960996, 228826129 – 228826125, 263672648 – 263672644, 912670092 – 912670088

5

9 – 4, 32 – 27, 5329 – 5324, 49928 – 49923, 107653 – 107648, 2481997 – 2481992, 10852817 – 10852812, 27706568 – 27706563

6

214375 – 214369, 744775 – 744769

7

8 – 1, 16 – 9, 32 – 25, 128 – 121, 968 – 961, 4232 – 4225, 32768 – 32761, 143648 – 143641, 830304 – 830297, 1113032 – 1113025, 1119371 – 1119364, 4879688 – 4879681, 5565132 – 5565125, 37810208 – 37810201, 165765632 – 165765625

8

9 – 1, 16 – 8, 72 – 64, 108 – 100, 400 – 392, 1331 – 1323, 1944 – 1936, 2312 – 2304, 5408 – 5400, 13456 – 13448, 78408 – 78400, 97344 – 97336, 280908 – 280900, 456976 – 456968, 1881800 – 1881792, 2663432 – 2663424, 3721000 – 3720992, 11449008 – 11449000, 14601608 – 14601600, 15523600 – 15523592, 73085409 – 73085401, 90478152 – 90478144, 157922000 – 157921992, 522305316 – 522305308, 527345296 – 527345288, 759002508 – 759002500

9

25 – 16, 36 – 27, 81 – 72, 225 – 216, 441 – 432, 2601 – 2592, 6084 – 6075, 21609 – 21600, 64009 – 64000, 84681 – 84672, 88209 – 88200, 109512 – 109503, 480500 – 480491, 1179396 – 1179387, 2117025 – 2117016, 2996361 – 2996352, 4186125 – 4186116, 7513081 – 7513072, 16426809 – 16426800, 101787921 – 101787912, 207446409 – 207446400, 228795876 – 228795867

10

2197 – 2187

11

27 – 16, 36 – 25, 972 – 961, 3136 – 3125, 3375 – 3364, 4500 – 4489, 57132 – 57121, 2611467 – 2611456, 154355787 – 154355776, 457917212 – 457917201

12

16 – 4, 512 – 500, 2209 – 2197, 5488 – 5476, 1404500 – 1404488, 4780244 – 4780232, 14577124 – 14577112

13

49 – 36, 121 – 108, 256 – 243, 4913 – 4900, 9261 – 9248, 55125 – 55112, 219501 – 219488, 309136 – 309123, 674041 – 674028, 751478912 – 751478899, 835267801 – 835267788

14

30459375 – 30459361, 717498675 – 717498661

15

16 – 1, 64 – 49, 628864 – 628849, 1295044 – 1295029, 633881344 – 633881329

16

25 – 9, 32 – 16, 144 – 128, 216 – 200, 500 – 484, 800 – 784, 3888 – 3872, 4624 – 4608, 10816 – 10800, 26912 – 26896, 60516 – 60500, 156816 – 156800, 194688 – 194672, 561816 – 561800, 913952 – 913936, 1760929 – 1760913, 3763600 – 3763584, 5326864 – 5326848, 7442000 – 7441984, 22898016 – 22898000, 29203216 – 29203200, 31047200 – 31047184, 46226417 – 46226401, 180956304 – 180956288, 315844000 – 315843984, 545923241 – 545923225, 915304516 – 915304500

17

25 – 8, 49 – 32, 81 – 64, 125 – 108, 529 – 512, 1369 – 1352, 17689 – 17672, 46225 – 46208, 79524 – 79507, 140625 – 140608, 600625 – 600608, 877969 – 877952, 1570009 – 1569992, 20403289 – 20403272, 53333809 – 53333792, 173881809 – 173881792, 693110929 – 693110912

18

27 – 9, 243 – 225, 361 – 343, 3267 – 3249, 45387 – 45369, 136125 – 136107, 632043 – 632025, 829939 – 829921, 8803107 – 8803089, 122611347 – 122611329

19

27 – 8, 100 – 81, 144 – 125, 343 – 324, 312500 – 312481, 1318707 – 1318688, 15147027 – 15147008, 249924500 – 249924481, 503284375 – 503284356

20

36 – 16, 128 – 108, 216 – 196, 1372 – 1352, 21316 – 21296, 114264 – 114244, 199712 – 199692, 430612 – 430592, 9927988 – 9927968, 20457549 – 20457529, 43411268 – 43411248, 110826272 – 110826252, 193710744 – 193710724, 238003947 – 238003927, 398321784 – 398321764

 

Sono state avanzate varie congetture sui numeri potenti; oltre alle famose congetture di Erdös, le principali sono:

  • non esistono numeri potenti della forma n2k – 1, con n pari;

  • se nk è il numero potente più vicino a 2k, |2knk| tende a infinito;

  • i numeri potenti della forma 2k + 1 e 2k – 1 sono in numero finito;

  • i numeri potenti della forma 2k – 1 sono in numero finito;

  • i numeri potenti della forma 22k – 1 sono in numero finito.

Le ultime tre sono versioni progressivamente più deboli della seconda.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Ribenboim, Paulo;  Catalan’s Conjecture, Academic Press, 1994.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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