Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Catene di Cunningham di seconda specie

Teoria dei numeri 

Se iniziando con un primo p tale che 2p – 1 sia primo e continuando a raddoppiare e sottrarre 1 per alcune volte si ottengono numeri primi, la sequenza risultante si dice “catena di Cunningham di seconda specie”, in onore di Allan Cunningham (v. catene di Cunningham di prima specie). Per esempio, 2, 3 e 5 formano una catena di Cunningham di seconda specie.

 

Non possono esistere catene di Cunningham di seconda specie di lunghezza infinita, ma dalla congettura di Dickson segue che ne esistono infinite di qualsiasi lunghezza; le più lunghe note, trovate da Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski nel 2014, comprendono 19 primi e iniziano con 42008163485623434922152331 e 79910197721667870187016101.

 

In base 2 i primi che compongono una catena di Cunningham di seconda specie che non inizi con 2 si rappresentano aggiungendo ogni volta uno 0 immediatamente prima dell’ultima cifra del precedente. Per esempio, i primi che compongono la catena che inizia con 1531 si rappresentano così: 101111110112 = 1531, 1011111101012 = 3061, 10111111010012 = 6121, 101111110100012 = 12241, 1011111101000012 = 24481.

 

Tranne 2 e 3 nessun primo può far parte sia di una catena di Cunningham di prima specie, sia di una catena di Cunningham di seconda specie.

 

La tabella seguente riporta i primi iniziali delle catene di Cunningham di seconda specie di lunghezza almeno 3 minori di 10000.

Primo iniziale

Lunghezza della catena

2

3

19

3

79

3

331

3

439

3

499

3

619

3

829

3

1069

3

1279

3

1531

5

2089

3

2131

4

2179

3

2311

4

2791

3

3019

3

3061

4

3109

3

3181

3

3769

3

4159

3

4231

3

4261

3

4621

3

4639

3

4861

3

4951

3

5419

3

5749

3

6121

3

6211

4

6709

3

6841

5

7369

3

7411

4

7561

3

7639

3

8209

3

8629

3

9109

3

9199

3

9319

3

9739

3

 

La tabella mostra il minimo primo in una catena di esattamente n termini (Paul Jobling e N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Minimo primo

1

11

2

7

3

2

4

2131

5

1531

6

385591

7

16651

8

15514861

9

857095381

10

205528443121

11

1389122693971

12

216857744866621

13

758083947856951

14

107588900851484911

15

69257563144280941

16

3203000719597029781

 

La tabella seguente riporta le massime catene note.

Primo iniziale

Cifre

Scopritori e anno

Lunghezza della catena

9985628193 • 2171008 + 1

51489

Nair, 2016

2

129431439657 • 2170171 + 1

51238

Batalov, 2015

2

14380757307 • 2170170 + 1

51237

Batalov, 2015

2

996824343 • 240072 + 1

12072

Angel, D. Augustin, 2016

3

9649755890145 · 233333 + 1

10048

Batalov, 2015

3

15162914750865 • 233217 + 1

10013

Batalov, 2015

3

17285145467 • 6977# + 1

3005

Angel, D. Augustin, 2016

4

35598436282 • 6701# + 1

2878

Batalov, 2015

4

630698711 • 4933# + 1

2105

Angel, 2010

4

646737879652976640 • 3559# + 1

1535

Balyakin, 2016

5

26483492454758573330432 • 3109# + 1

1342

Balyakin, 2015

5

56185437312 • 3001# + 1

1288

Batalov, 2015

5

45008010405 • 2621# + 1

1116

D. Broadhurst, 2010

5

52992297065385779421184 • 1531# + 1

668

Balyakin, 2015

6

480112483568 • 1511# + 1

650

Östlin, 2014

6

37783362904 • 1097#+1

475

D. Augustin, 2006

6

25802590081726373888 • 1033# + 1

453

Balyakin, 2015

7

2 • 2373007846680317952 • 761# + 1

337

Balyakin, 2016

7

535617118876 • 727# + 1

313

Östlin, 2015

7

2373007846680317952 • 761# + 1

337

Balyakin, 2016

8

112156947439087303442563072 • 491# + 1

230

Balyakin, 2015

8

1148424905221 • 509# + 1

224

D. Augustin, 2010

8

173129832252242394185728 • 401# + 1

187

Balyakin, 2015

9

182887101390961871050645934589918687746535370612015546956692154622371784133412186 · 223# + 1

167

Primecoin, 2013

9

326715355352350972893381745676353435171008659029059646631240926699147385033998869 · 193# + 1

158

Primecoin, 2013

9

2044300700000658875613184 • 311# + 1

150

Balyakin, 2016

10

172046770897145546293248 • 311# + 1

149

Balyakin, 2016

10

1943773633175835453056 • 311# + 1

147

Balyakin, 2015

10

1070828503293 • 239# + 1

109

D. Augustin, 2009

10

19298029794843054654 • 311# + 1

145

Balyakin, 2015

11

8026337833619599372491948674562462668692014872229571339857384053514279156849912832 • 109# + 1

127

Primecoin, 2014

11

27188223538654557575542255911306122285306371344957088412131206764262810733665700 • 107# + 1

122

Primecoin, 2014

11

2 • 13931865163581 • 127# + 1

63

D. Augustin, 2008

11

906644189971753846618980352 • 233# + 1

121

Balyakin, 2015

12

160433998429454286861864982184342218645773889300991352796925862298096263175269000 • 73# + 1

109

Primecoin, 2013

12

3018970250978499232353420274403370309649101023080062032175680183412679387197178760 • 71# + 1

109

Primecoin, 2014

12

13931865163581 • 127# + 1

62

D. Augustin, 2008

12

38249410745534076442242419351233801191635692835712219264661912943040353398995076864 • 47# + 1

101

Primecoin, 2014

13

33155807057790800775649341859694105808052724705909514418378338523752551896758685696 • 47# + 1

101

Primecoin, 2014

13

2 · 5819411283298069803200936040662511327268486153212216998535044251830806354124236416 • 47# + 1

100

Primecoin, 2014

13

5819411283298069803200936040662511327268486153212216998535044251830806354124236416 • 47# + 1

100

Primecoin, 2014

14

5646537093048826761608166161694960328052287835485710281376689612129703794968064 • 47# + 1

97

Primecoin, 2014

14

1718950880756700546283418129096691113663333137875024891612276461473759352224896 • 47# + 1

97

Primecoin, 2014

14

335898524600734221050749906451371

33

J. K. Andersen, 2008

14

67040002730422542592 • 53# + 1

40

Balyakin, 2016

15

25939635974573655642 • 53# + 1

39

Balyakin, 2015

15

28320350134887132315879689643841

32

Jaroslaw Wroblewski, 2008

15

2 • 1540797425367761006138858881 – 1

28

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

16

4 • 658189097608811942204322721 – 3

28

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

16

2614065594356962781728904640

28

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

16

2368823992523350998418445521

28

Jaroslaw Wroblewski, 2008

16

1540797425367761006138858881

28

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

17

2 • 658189097608811942204322721 – 1

28

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

17

1284167734361435112645318721

28

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

17

1302312696655394336638441

25

Jaroslaw Wroblewski, 2008

17

658189097608811942204322721

27

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

18

182927793839529342111307801

27

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

18

2 • 79910197721667870187016101 – 1

27

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2014

18

79910197721667870187016101

26

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 20014

19

42008163485623434922152331

26

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2008

19

 

Alcuni metodi per dimostrare che un intero p è primo richiedono la scomposizione di p + 1 o p – 1; se tale numero contiene a sua volta un primo molto grande, la dimostrazione si complica, perché bisogna ripetere il procedimento con un numero di poco più piccolo di quello iniziale. I massimi numeri di una catena di Cunningham di prima o seconda specie rappresentano quindi i casi peggiori per tali metodi.

 

Sono state cercate anche catene di forma leggermente diversa; se da p si passa a 2p2 – 1:

  • la minima di lunghezza esattamente 2 inizia con 7;

  • la minima di lunghezza esattamente 3 inizia con 2, la minima che inizi da un primo dispari inizia con 17;

  • la minima di lunghezza 4 inizia con 3;

  • la minima di lunghezza 5 inizia con 281683;

  • la minima di lunghezza 6 inizia con 496789.

 

Sono state cercate anche catene di Cunningham di seconda specie di semiprimi; quella che inizia con 18900191311, nella quale ogni termine è uguale al doppio del precedente meno uno, ne contiene 17.

 

Lenny Jones dimostrò nel 2011 che esiste l’equivalente delle catene di Cunningham di seconda specie tra i polinomi, ossia esistono sequenze di polinomi pn(x), tali che pn + 1(x) = xpn(x) – 1, nei quali i primi k termini sono irriducibili, mentre il termine successivo è riducibile.

In particolare per m2 > k + 1 i primi k termini della sequenza di polinomi che inizia con p1(x) = m2x – (mk) sono irriducibili, il successivo è riducibile, quindi questi polinomi formano una catena di lunghezza k. Se m > 0, la sequenza di polinomi che inizia con p1(x) = xm costituisce una catena di lunghezza infinita.

Esistono quindi infinite catene di polinomi di qualsiasi lunghezza e infinite catene di lunghezza infinita.

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