Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Williams di prima specie (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Williams di prima specie” i numeri naturali della forma (b – 1) • bn – 1; i numeri di Mersenne corrispondono al caso b = 2.

 

Comunemente si considerano solo i valori per n > 0, dato che per n = 0 ogni numero naturale k sarebbe banalmente un numero di Williams di prima specie, perché per b = k + 2 si ha (b – 1) • b0 – 1 = k.

Per n > 0 sono tutti dispari.

 

Il nome si deve a H.C. Williams, che per primo li studiò, pubblicando nel 1972 un articolo, limitato al caso b = 2, e nel 1981 un secondo nel quale esaminava la forma generale.

Nel 2000 Andreas Stein e lo stesso Williams pubblicarono un articolo che indicava criteri per determinare se un numero di questa forma sia primo o meno.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Williams di prima specie minori di 1012 per b fino a 20.

b

Numeri di Williams di prima specie

1

–1

2

0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, 2047, 4095, 8191, 16383, 32767, 65535, 131071, 262143, 524287, 1048575, 2097151, 4194303, 8388607, 16777215, 33554431, 67108863, 134217727, 268435455, 536870911, 1073741823, 2147483647, 4294967295, 8589934591, 17179869183, 34359738367, 68719476735, 137438953471, 274877906943, 549755813887

3

1, 5, 17, 53, 161, 485, 1457, 4373, 13121, 39365, 118097, 354293, 1062881, 3188645, 9565937, 28697813, 86093441, 258280325, 774840977, 2324522933, 6973568801, 20920706405, 62762119217, 188286357653, 564859072961

4

2, 11, 47, 191, 767, 3071, 12287, 49151, 196607, 786431, 3145727, 12582911, 50331647, 201326591, 805306367, 3221225471, 12884901887, 51539607551, 206158430207, 824633720831

5

3, 19, 99, 499, 2499, 12499, 62499, 312499, 1562499, 7812499, 39062499, 195312499, 976562499, 4882812499, 24414062499, 122070312499, 610351562499

6

4, 29, 179, 1079, 6479, 38879, 233279, 1399679, 8398079, 50388479, 302330879, 1813985279, 10883911679, 65303470079, 391820820479

7

5, 41, 293, 2057, 14405, 100841, 705893, 4941257, 34588805, 242121641, 1694851493, 11863960457, 83047723205, 581334062441

8

6, 55, 447, 3583, 28671, 229375, 1835007, 14680063, 117440511, 939524095, 7516192767, 60129542143, 481036337151

9

7, 71, 647, 5831, 52487, 472391, 4251527, 38263751, 344373767, 3099363911, 27894275207, 251048476871

10

8, 89, 899, 8999, 89999, 899999, 8999999, 89999999, 899999999, 8999999999, 89999999999, 899999999999

11

9, 109, 1209, 13309, 146409, 1610509, 17715609, 194871709, 2143588809, 23579476909, 259374246009

12

10, 131, 1583, 19007, 228095, 2737151, 32845823, 394149887, 4729798655, 56757583871, 681091006463

13

11, 155, 2027, 26363, 342731, 4455515, 57921707, 752982203, 9788768651, 127253992475

14

12, 181, 2547, 35671, 499407, 6991711, 97883967, 1370375551, 19185257727, 268593608191

15

13, 209, 3149, 47249, 708749, 10631249, 159468749, 2392031249, 35880468749, 538207031249

16

14, 239, 3839, 61439, 983039, 15728639, 251658239, 4026531839, 64424509439

17

15, 271, 4623, 78607, 1336335, 22717711, 386201103, 6565418767, 111612119055

18

16, 305, 5507, 99143, 1784591, 32122655, 578207807, 10407740543, 187339329791

19

17, 341, 6497, 123461, 2345777, 44569781, 846825857, 16089691301, 305704134737

20

18, 379, 7599, 151999, 3039999, 60799999, 1215999999, 24319999999, 486399999999

 

I primi di Williams di prima specie sono i numeri di Williams di prima specie che sono primi; la tabella seguente mostra quelli minori di 1030 per b fino a 20.

b

Primi di Williams di prima specie

1

Nessuno

2

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111

3

5, 17, 53, 4373, 13121, 1062881, 6973568801, 188286357653, 15251194969973, 100063090197999413, 1046695266054721074427023041, 763040848953891663257299797617

4

2, 11, 47, 191, 786431, 51539607551, 824633720831, 55340232221128654847, 226673591177742970257407, 59421121885698253195157962751

5

3, 19, 499, 7812499, 4882812499, 122070312499, 1192092895507812499, 7275957614183425903320312499

6

29, 179, 233279, 1399679, 1813985279, 3948651115268014079, 238759833298392026531758079

7

5, 41, 293, 4941257, 9770481587462693

8

3583, 14680063, 246290604621823

9

7, 71, 647, 472391, 5743183901534820710161991

10

89, 8999, 89999999, 89999999999999999999, 899999999999999999999999999999

11

109, 13309

12

131, 1583, 506056319003066716127231, 10493583830847591425614282751

13

11, 2027, 752982203, 21505924728443

14

181, 35671, 6991711

15

13, 408700964355468749

16

239, 18133887294219437620592639

17

271, 78607

18

5507, 578207807

19

17, 846825857, 5808378560021, 676619522235827247480400817

20

379

 

La tabella seguente riporta i valori di n noti per i quali si hanno primi di Williams di prima specie, per b fino a 20; la tabella comprende tutti i valori per n fino a 1000.

b

n

1

Nessuno

2

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281

3

1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844

4

0, 1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859

5

0, 1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393

6

1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706

7

1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326

8

3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299

9

0, 1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305

10

1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643

11

1, 3, 37, 119, 255, 355, 371, 497, 1759, 34863, 50719, 147709, 263893

12

1, 2, 21, 25, 33, 54, 78, 235, 1566, 2273, 2310, 4121, 7775, 42249, 105974, 138961

13

0, 2, 7, 11, 36, 164, 216, 302, 311, 455, 738, 1107, 2244, 3326, 4878

14

1, 3, 5, 27, 35, 165, 209

15

0, 14, 33, 43

16

1, 20, 29, 43, 56, 251, 25985, 27031, 142195, 164066

17

1, 3, 71, 139, 265, 793

18

2, 6, 26, 79, 91, 96, 416, 554

19

0, 6, 9, 20, 43, 174, 273, 428

20

1, 219, 223

 

I primi di Williams di prima specie sono infiniti, perché per n = 0 ogni primo è un numero di Williams di prima specie; inoltre se la congettura di Bunyakovsky è vera, per ogni valore di n non della forma 6k + 4 vi sono infiniti primi, tuttavia non è stato dimostrato che siano infiniti per ogni valore di b. Se n è della forma 6k + 4, (b – 1) • bn – 1 è multiplo di b2b + 1, quindi non può essere primo.

Non si conoscono primi di Williams per b uguale a: 128, 233, 268, 293, 383, 478, 488, 533, 554, 665, 698, 779, 863, 878, 932, 941, 1010, 1034, 1145, 1164, 1199, 1253, 1328, 1353, 1430, 1489, 1493, 1522, 1658, 1683, 1733, 1738, 1745, 1808, 1913, 1928, 1948, 2018, nonostante le ricerche siano state estese a tutti gli esponenti fino a 100000.

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