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Williams di seconda specie (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Williams di seconda specie” i numeri naturali della forma (b – 1) • bn + 1; i numeri di Fermat corrispondono al caso b = 2, n = 2k.

 

Comunemente si considerano solo i valori per n > 0, dato che per n = 0 ogni numero naturale k sarebbe banalmente un numero di Williams di seconda specie generalizzato, perché per b = k si ha (b – 1) • b0 + 1 = k.

Per n > 0 sono tutti dispari.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Williams di seconda specie minori di 1012 per b fino a 20.

b

Numeri di Williams di seconda specie

1

1

2

2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, 257, 513, 1025, 2049, 4097, 8193, 16385, 32769, 65537, 131073, 262145, 524289, 1048577, 2097153, 4194305, 8388609, 16777217, 33554433, 67108865, 134217729, 268435457, 536870913, 1073741825, 2147483649, 4294967297, 8589934593, 17179869185, 34359738369, 68719476737, 137438953473, 274877906945, 549755813889

3

3, 7, 19, 55, 163, 487, 1459, 4375, 13123, 39367, 118099, 354295, 1062883, 3188647, 9565939, 28697815, 86093443, 258280327, 774840979, 2324522935, 6973568803, 20920706407, 62762119219, 188286357655, 564859072963

4

4, 13, 49, 193, 769, 3073, 12289, 49153, 196609, 786433, 3145729, 12582913, 50331649, 201326593, 805306369, 3221225473, 12884901889, 51539607553, 206158430209, 824633720833

5

5, 21, 101, 501, 2501, 12501, 62501, 312501, 1562501, 7812501, 39062501, 195312501, 976562501, 4882812501, 24414062501, 122070312501, 610351562501

6

6, 31, 181, 1081, 6481, 38881, 233281, 1399681, 8398081, 50388481, 302330881, 1813985281, 10883911681, 65303470081, 391820820481

7

7, 43, 295, 2059, 14407, 100843, 705895, 4941259, 34588807, 242121643, 1694851495, 11863960459, 83047723207, 581334062443

8

8, 57, 449, 3585, 28673, 229377, 1835009, 14680065, 117440513, 939524097, 7516192769, 60129542145, 481036337153

9

9, 73, 649, 5833, 52489, 472393, 4251529, 38263753, 344373769, 3099363913, 27894275209, 251048476873

10

10, 91, 901, 9001, 90001, 900001, 9000001, 90000001, 900000001, 9000000001, 90000000001, 900000000001

11

11, 111, 1211, 13311, 146411, 1610511, 17715611, 194871711, 2143588811, 23579476911, 259374246011

12

12, 133, 1585, 19009, 228097, 2737153, 32845825, 394149889, 4729798657, 56757583873, 681091006465

13

13, 157, 2029, 26365, 342733, 4455517, 57921709, 752982205, 9788768653, 127253992477

14

14, 183, 2549, 35673, 499409, 6991713, 97883969, 1370375553, 19185257729, 268593608193

15

15, 211, 3151, 47251, 708751, 10631251, 159468751, 2392031251, 35880468751, 538207031251

16

16, 241, 3841, 61441, 983041, 15728641, 251658241, 4026531841, 64424509441

17

17, 273, 4625, 78609, 1336337, 22717713, 386201105, 6565418769, 111612119057

18

18, 307, 5509, 99145, 1784593, 32122657, 578207809, 10407740545, 187339329793

19

19, 343, 6499, 123463, 2345779, 44569783, 846825859, 16089691303, 305704134739

20

20, 381, 7601, 152001, 3040001, 60800001, 1216000001, 24320000001, 486400000001

 

I primi di Williams di seconda specie sono i numeri di Williams di seconda specie che sono primi; la tabella seguente mostra quelli minori di 1030 per b fino a 20.

b

Primi di Williams di seconda specie

1

Nessuno

2

2, 3, 5, 17, 257, 65537

3

3, 7, 19, 163, 487, 1459, 39367, 86093443, 258280327, 411782264189299, 116299474006080119380780339, 3140085798164163223281069127, 84782316550432407028588866403

4

13, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 221360928884514619393

5

5, 101, 62501, 15258789062501

6

31, 181, 6481, 84633297223681

7

7, 43, 14407, 242121643

8

449

9

73, 52489, 472393, 251048476873, 51688655113813386391457929, 37681029577969958679372829513

10

9001, 90001, 900001, 9000000001, 90000000000000000000001, 9000000000000000000000000001

11

11, 259374246011, 98497326758076110947118411

12

19009, 228097

13

13, 157, 2029, 342733, 2964774348881404712452957

14

2549

15

211, 47251, 708751, 538207031251, 121096582031251, 408700964355468751, 15711838049626350402832031251

16

241, 61441, 263882790666241, 4222124650659841

17

17, 1336337, 65027702506361160358425617

18

307, 578207809, 3372107936257, 19666133484244993, 70217285079909598584801067009

19

19

20

31129600000000000001, 4980736000000000000000001, 1992294400000000000000000001

 

La tabella seguente riporta i valori di n noti per i quali si hanno primi di Williams di seconda specie, per b fino a 20; la tabella comprende tutti i valori per n fino a 1000.

b

n

1

Nessuno

2

0, 1, 2, 4, 8, 16

3

0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 30, 54, 57, 60, 65, 132, 180, 320, 696, 782, 822, 897, 1252, 1454, 4217, 5480, 6225, 7842, 12096, 13782, 17720, 43956, 64822, 82780, 105106, 152529, 165896, 191814, 529680, 1074726, 1086112, 1175232

4

1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, 1104, 1408, 1584, 1956, 17175, 21147, 24075, 27396, 27591, 40095, 354984, 400989, 916248, 1145805, 2541153, 5414673

5

0, 2, 6, 18, 50, 290, 2582, 20462, 23870, 26342, 31938, 38122, 65034, 70130, 245538

6

1, 2, 4, 17, 136, 147, 203, 590, 754, 964, 970, 1847, 2031, 2727, 2871, 5442, 7035, 7266, 11230, 23307, 27795, 34152, 42614, 127206, 133086

7

0, 1, 4, 9, 99, 412, 2633, 5093, 5632, 28233, 36780, 47084, 53572

8

2, 40, 58, 60, 130, 144, 752, 7462, 18162, 69028, 187272, 268178, 270410, 497284, 713304, 722600, 1005254

9

1, 4, 5, 11, 26, 29, 38, 65, 166, 490, 641, 2300, 9440, 44741, 65296, 161930

10

3, 4, 5, 9, 22, 27, 36, 57, 62, 78, 201, 537, 696, 790, 905, 1038, 66886, 70500, 91836, 100613, 127240

11

0, 10, 24, 864, 2440, 9438, 68272, 148602

12

3, 4,3, 4, 35, 119, 476, 507, 6471, 13319, 31799

13

0, 1, 2, 4, 21, 34, 48, 53, 160, 198, 417, 773

14

2, 40, 402

15

1, 3, 4, 9, 11, 14, 23, 122, 141, 591

16

1, 3, 11, 12, 28, 42, 225, 702, 782, 972, 1701, 1848, 8556, 8565, 10847, 12111, 75122, 183600, 307400, 342107, 416936

17

0, 4, 20, 320, 736

18

1, 6, 9, 12, 22, 30, 102, 154, 600

19

0, 29, 32, 59, 65, 303

20

14, 18, 20, 38, 108, 150, 640

 

I primi di Williams di seconda specie sono infiniti, perché per n = 0 ogni primo è un numero di Williams di seconda specie; inoltre se la congettura di Bunyakovsky è vera, per ogni valore di n non della forma 6k + 1 vi sono infiniti primi, tuttavia non è stato dimostrato che siano infiniti per ogni valore di b. Se n è della forma 6k + 1, (b – 1) • bn + 1 è multiplo di b2b + 1, quindi non può essere primo.

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