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Bateman – Horn (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura fu proposta da Paul T. Bateman e Roger A. Horn nel 1962 e afferma che dati k polinomi irriducibili a coefficienti interi p1(n), p2(n), ... pk(n), tali che non esista un primo che divida tutti i valori assunti dal loro prodotto al variare di n tra gli interi (condizione di Bunyakovsky), esistono infiniti valori interi positivi di n che li rendono simultaneamente primi.

Inoltre la frazione di tali valori di n minori di x tende a Stima asintotica del numero di interi minori di x per i quali tutti i polinomi producono numeri primi, dove S(p) è il numero di soluzioni dell’equazione Equazione per la definizione di S(p) e D è il prodotto dei gradi dei polinomi. La condizione di Bunyakovsky implica che S(p) < p.

 

La condizione sulla divisibilità serve a escludere casi come (n, n + 2, n + 4), che non possono essere simultaneamente primi, tranne per n = 1 e n = 3, perché uno dei valori è multiplo di 3.

 

In questi termini la congettura è banalmente falsa, perché il polinomio –n produce solo valori negativi e quindi nessun numero primo; la congettura può essere corretta in due modi:

  • imponendo che il termine di grado massimo di ogni polinomio abbia coefficiente positivo, in modo che il polinomio stesso generi al massimo un numero finito di interi negativi;

  • considerando il valore assoluto degli interi prodotti.

La versione generalmente adottata è la seconda, più generale, ma la maggior parte delle conseguenze interessanti deriverebbe anche dalla prima, perché i polinomi necessari rispettano la condizione.

 

Non è neppure stato dimostrato che ogni singolo polinomio che soddisfi le condizioni produca almeno un primo, mentre è facile dimostrare che il valori prodotti dai polinomi hanno infiniti fattori primi differenti (Schur 1912).

 

La congettura implica vari casi particolari famosi:

 

La congettura è una generalizzazione di quelle di Dickson, Bunyakovsky e Schinzel, ma offre in più una stima precisa della densità dei primi generati.

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