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Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati” i numeri naturali della forma (b + 1) • bn + 1; i numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie corrispondono al caso b = 2.

 

Comunemente si considerano solo i valori per n > 0, perché per n = 0 ogni numero naturale k maggiore di 2 è banalmente un numero di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzato, perché per b = k – 2 si ha (b + 1) • b0 + 1 = k.

Per n > 0 sono tutti dispari.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati minori di 1012 per b fino a 20.

b

Numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati

1

3

2

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, 3145729, 6291457, 12582913, 25165825, 50331649, 100663297, 201326593, 402653185, 805306369, 1610612737, 3221225473, 6442450945, 12884901889, 25769803777, 51539607553, 103079215105, 206158430209, 412316860417, 824633720833

3

5, 13, 37, 109, 325, 973, 2917, 8749, 26245, 78733, 236197, 708589, 2125765, 6377293, 19131877, 57395629, 172186885, 516560653, 1549681957, 4649045869, 13947137605, 41841412813, 125524238437, 376572715309

4

6, 21, 81, 321, 1281, 5121, 20481, 81921, 327681, 1310721, 5242881, 20971521, 83886081, 335544321, 1342177281, 5368709121, 21474836481, 85899345921, 343597383681

5

7, 31, 151, 751, 3751, 18751, 93751, 468751, 2343751, 11718751, 58593751, 292968751, 1464843751, 7324218751, 36621093751, 183105468751, 915527343751

6

8, 43, 253, 1513, 9073, 54433, 326593, 1959553, 11757313, 70543873, 423263233, 2539579393, 15237476353, 91424858113, 548549148673

7

9, 57, 393, 2745, 19209, 134457, 941193, 6588345, 46118409, 322828857, 2259801993, 15818613945, 110730297609, 775112083257

8

10, 73, 577, 4609, 36865, 294913, 2359297, 18874369, 150994945, 1207959553, 9663676417, 77309411329, 618475290625

9

11, 91, 811, 7291, 65611, 590491, 5314411, 47829691, 430467211, 3874204891, 34867844011, 313810596091

10

12, 111, 1101, 11001, 110001, 1100001, 11000001, 110000001, 1100000001, 11000000001, 110000000001

11

13, 133, 1453, 15973, 175693, 1932613, 21258733, 233846053, 2572306573, 28295372293, 311249095213

12

14, 157, 1873, 22465, 269569, 3234817, 38817793, 465813505, 5589762049, 67077144577, 804925734913

13

15, 183, 2367, 30759, 399855, 5198103, 67575327, 878479239, 11420230095, 148462991223

14

16, 211, 2941, 41161, 576241, 8067361, 112943041, 1581202561, 22136835841, 309915701761

15

17, 241, 3601, 54001, 810001, 12150001, 182250001, 2733750001, 41006250001, 615093750001

16

18, 273, 4353, 69633, 1114113, 17825793, 285212673, 4563402753, 73014444033

17

19, 307, 5203, 88435, 1503379, 25557427, 434476243, 7386096115, 125563633939

18

20, 343, 6157, 110809, 1994545, 35901793, 646232257, 11632180609, 209379250945

19

21, 381, 7221, 137181, 2606421, 49521981, 940917621, 17877434781, 339671260821

20

22, 421, 8401, 168001, 3360001, 67200001, 1344000001, 26880000001, 537600000001

 

I primi di Thābit di seconda specie generalizzati sono i numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati che sono primi; la tabella seguente mostra quelli minori di 1030 per b fino a 20.

b

Primi di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati

1

3

2

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393

3

5, 13, 37, 109, 2917, 19131877, 57395629, 16210220612075905069

4

Nessuno

5

7, 31, 151, 751, 71525573730468751, 44703483581542968751, 698491930961608886718751

6

43, 326593, 118486616113153

7

Nessuno

8

73, 577, 77309411329, 39582418599937, 83010348331692982273, 21760664753063325144711169

9

11, 811, 5314411, 3874204891, 313810596091

10

Nessuno

11

13, 1453, 15973, 21258733, 2572306573

12

157, 1873, 5589762049, 67077144577, 28841944387625680897, 148818097964747660217802555393

13

Nessuno

14

211, 41161, 48212995506266114051266314241

15

17, 241, 54001, 12150001, 79806161521911621093750001

16

Nessuno

17

19, 307, 434476243

18

3768826516993

19

Nessuno

20

421, 1344000001

 

La tabella seguente riporta i valori di n noti per i quali si hanno primi di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati, per b fino a 20; la tabella comprende tutti i valori per n fino a 1000.

b

n

1

3 e nessun altro

2

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346

3

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 885, 1005, 1254, 1635, 3306, 3522, 9602, 19785, 72698

4

Nessuno

5

0, 1, 2, 3, 23, 27, 33, 63, 158, 278, 290, 351, 471, 797, 8462, 28793, 266030

6

1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, 309, 555

7

Nessuno

8

1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, 435, 498, 942, 1118, 1139, 1230, 1614, 1934, 13062, 16634, 128330, 278270, 350342, 1165814

9

0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, 941, 1647, 7466, 9477, 9806, 11799, 16941, 33437, 35273, 43284, 93813, 95369

10

Nessuno

11

0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, 363, 995

12

1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, 365

13

Nessuno

14

1, 3, 24, 29, 44, 48

15

0, 1, 3, 5, 21, 35, 101, 860

16

Nessuno

17

0, 1, 6, 204

18

9

19

Nessuno

20

1, 6, 191, 468, 644

 

I primi di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati sono infiniti, perché ogni primo dispari p è un numero di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzato con b = p – 2 e n = 0; inoltre se la congettura di Bunyakovsky è vera, per ogni valore di n non della forma 3k +1 vi sono infiniti primi, tuttavia non è stato dimostrato che siano infiniti per ogni valore di b non della forma 3k +1. Per b della forma 3k + 1 i numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie generalizzati sono multipli di 3, quindi l’unico primo di questo genere è 3. Se n è della forma 3k + 1, (b + 1) • bn + 1 è multiplo di b2 + b + 1, quindi non può essere primo.

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