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Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzati” i numeri naturali della forma (b + 1) • bn – 1; i numeri di Thābit ibn Qurra corrispondono al caso b = 2.

 

Comunemente si considerano solo i valori per n > 0, perché per n = 0 ogni numero naturale k è banalmente un numero di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzato, perché per b = k si ha (b + 1) • b0 – 1 = k.

Per n > 0 sono tutti dispari.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzati minori di 1012 per b fino a 20.

b

Numeri di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzati

1

1

2

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727, 6291455, 12582911, 25165823, 50331647, 100663295, 201326591, 402653183, 805306367, 1610612735, 3221225471, 6442450943, 12884901887, 25769803775, 51539607551, 103079215103, 206158430207, 412316860415, 824633720831

3

3, 11, 35, 107, 323, 971, 2915, 8747, 26243, 78731, 236195, 708587, 2125763, 6377291, 19131875, 57395627, 172186883, 516560651, 1549681955, 4649045867, 13947137603, 41841412811, 125524238435, 376572715307

4

4, 19, 79, 319, 1279, 5119, 20479, 81919, 327679, 1310719, 5242879, 20971519, 83886079, 335544319, 1342177279, 5368709119, 21474836479, 85899345919, 343597383679

5

5, 29, 149, 749, 3749, 18749, 93749, 468749, 2343749, 11718749, 58593749, 292968749, 1464843749, 7324218749, 36621093749, 183105468749, 915527343749

6

6, 41, 251, 1511, 9071, 54431, 326591, 1959551, 11757311, 70543871, 423263231, 2539579391, 15237476351, 91424858111, 548549148671

7

7, 55, 391, 2743, 19207, 134455, 941191, 6588343, 46118407, 322828855, 2259801991, 15818613943, 110730297607, 775112083255

8

8, 71, 575, 4607, 36863, 294911, 2359295, 18874367, 150994943, 1207959551, 9663676415, 77309411327, 618475290623

9

9, 89, 809, 7289, 65609, 590489, 5314409, 47829689, 430467209, 3874204889, 34867844009, 313810596089

10

10, 109, 1099, 10999, 109999, 1099999, 10999999, 109999999, 1099999999, 10999999999, 109999999999

11

11, 131, 1451, 15971, 175691, 1932611, 21258731, 233846051, 2572306571, 28295372291, 311249095211

12

12, 155, 1871, 22463, 269567, 3234815, 38817791, 465813503, 5589762047, 67077144575, 804925734911

13

13, 181, 2365, 30757, 399853, 5198101, 67575325, 878479237, 11420230093, 148462991221

14

14, 209, 2939, 41159, 576239, 8067359, 112943039, 1581202559, 22136835839, 309915701759

15

15, 239, 3599, 53999, 809999, 12149999, 182249999, 2733749999, 41006249999, 615093749999

16

16, 271, 4351, 69631, 1114111, 17825791, 285212671, 4563402751, 73014444031

17

17, 305, 5201, 88433, 1503377, 25557425, 434476241, 7386096113, 125563633937

18

18, 341, 6155, 110807, 1994543, 35901791, 646232255, 11632180607, 209379250943

19

19, 379, 7219, 137179, 2606419, 49521979, 940917619, 17877434779, 339671260819

20

20, 419, 8399, 167999, 3359999, 67199999, 1343999999, 26879999999, 537599999999

 

I primi di Thābit di prima specie generalizzati sono i numeri di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzati che sono primi; la tabella seguente mostra quelli minori di 1030 per b fino a 20.

b

Primi di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzati

1

-

2

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, 26388279066623, 108086391056891903, 55340232221128654847, 226673591177742970257407, 59421121885698253195157962751

3

3, 11, 107, 971, 8747, 57395627, 11817250826203334794571

4

19, 79, 1279, 5119, 20479, 81919, 1310719, 21474836479, 1407374883553279, 90071992547409919, 23611832414348226068479

5

5, 29, 149, 18749, 292968749, 223517417907714843749

6

41, 251, 1511, 91424858111, 153558654482644991, 42986595501253708480511, 1547517438045133505298431, 55710627769624806190743551, 72200973589433748823203643391

7

7, 19207, 6588343, 2259801991, 5425784582791, 218949978720647330743

8

71, 294911, 18874367, 83010348331692982271

9

89, 809, 65609, 590489, 47829689, 34867844009, 313810596089, 25418658283289, 2058911320946489, 13508517176729920889, 581497370030400596903901689, 47101286972462448349216036889

10

109, 10999999999, 1099999999999, 1099999999999999999, 109999999999999999999999

11

11, 131, 1451, 15971, 175691, 3423740047331, 414272545727171, 976832992642077133359851, 157319930297999164404737524451

12

1871, 38817791, 9659108818943

13

13, 181, 30757, 399853, 148462991221, 25090245516517, 121105822871338731061, 20466884065256245549477, 3458903407028305497861781, 7599210785241187178802335053

14

2939, 22136835839

15

239, 615093749999, 7006302246093749999

16

271, 1114111, 17825791, 1168231104511, 19599665578316398591

17

17, 1503377, 434476241, 51523614927176684273, 253135520137219049838161, 359416240215471428446063182833

18

110807, 1994543, 35901791, 11632180607

19

19, 379, 7219

20

419, 215039999999999

 

La tabella seguente riporta i valori di n noti per i quali si hanno primi di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzati, per b fino a 20; la tabella comprende tutti i valori per n fino a 1000.

b

n

1

-

2

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718

3

0, 1, 3, 5, 7, 15, 45, 95, 235, 463, 733, 1437, 1583, 1677, 1803, 4163, 4765, 9219, 9959, 25477, 26059, 41539, 54195, 65057, 74977, 116589, 192289, 311835, 350767, 353635, 416337, 423253

4

1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, 670, 719, 761, 819, 877, 942, 1007, 1085, 1274, 1311, 1326

5

0, 1, 2, 5, 11, 28, 65, 72, 361, 479, 494, 599, 1062, 1094, 1193, 2827, 3271, 3388, 3990, 4418, 11178, 16294, 25176, 42500, 68320, 85698, 145259, 159119, 169771

6

1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, 734

7

0, 4, 7, 10, 14, 23, 59

8

1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, 313, 517, 1863, 2669, 3849, 4165, 27805, 34353, 91953, 128081, 336759

9

1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, 454, 621, 2312, 3553, 6565, 14026, 16083, 18493, 43289, 44970, 73654, 79638

10

1, 9, 11, 17, 22, 29, 36, 37, 52, 166, 448, 2011, 3489, 4871, 6982, 10024, 16974, 33287, 47364, 58873, 126160

11

0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, 908

12

2, 6, 11, 66, 196, 478

13

0, 1, 3, 4, 9, 11, 17, 19, 21, 24, 84, 93, 564, 817, 864, 961

14

2, 8, 172, 357, 918

15

1, 9, 15, 57, 79, 221

16

1, 4, 5, 9, 15, 24, 31, 63, 89, 115, 153, 166, 243, 297, 328

17

0, 4, 6, 15, 18, 23, 83, 359, 420, 711, 723, 864

18

3, 4, 5, 7, 476, 572, 684, 865

19

0, 1, 2, 503, 806

20

1, 10, 26, 30, 33, 73, 80, 120, 282, 331, 662, 859

 

I primi di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzati sono infiniti, perché per n = 0 ogni primo è un numero di Thābit ibn Qurra di prima specie generalizzato; inoltre se la congettura di Bunyakovsky è vera, per ogni valore di n vi sono infiniti primi, tuttavia non è stato dimostrato che siano infiniti per ogni valore di b.

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