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Primi di Ramanujan generalizzati

Teoria dei numeri 

Una generalizzazione dei primi di Ramanujan fu proposta da Vladimir Shevelev nel 2011 e ripresa poco dopo da Nadine Amersi, Olivia Beckwith, Steven J. Miller, Ryan Ronan e Jonathan Sondow: Il primo di Ramanujan generalizzato Rc, n per 0 < c < 1 è il minimo intero tale che per ogni k superiore vi siano sempre almeno n primi compresi tra ck e k. I primi di Ramanujan corrispondono al caso c = 1 / 2.

 

Se Limite inferiore per n, Rc, npkn per Limite superiore per c (Vladimir Shevelev, 2011) e in particolare R(1 / 2, n) < p(2 * n) e R(5 / 9, n) < p(4 * n).

 

Nel 2013 Vladimir Shevelev, Charles R. Greathouse IV e Peter J.C. Moses dimostrarono che: R(2 / 3, n) < p(4 * n), R(3 / 4, n) < p(6 * n), R(5 / 6, n) < p(11 * n)R(9 / 10, n) < p(31 * n) e R(14 / 15, n) < p(32 * n).

 

Nadine Amersi, Olivia Beckwith, Steven J. Miller, Ryan Ronan e Jonathan Sondow dimostrarono che:

  • Rc, n esiste per ogni valore di c e n;

  • |R(c, n) – p(n / (1 – c)) ≤ β1(c) * n * log(log(n)), per una costante β1, c maggiore di zero e n abbastanza grande, quindi Rc, n tende a p(n / (1 – c));

  • Limiti inferiore e superiore per log(R(c, n)), per una costante β2, c maggiore di zero e n abbastanza grande;

  • se πc(n) è il numero di primi di Ramanujan generalizzati minori di n, |πc(n) / π(n) – (1 – c))| ≤ β3(c) * log(log(n)) / log(n), per una costante β3, c maggiore di zero e n abbastanza grande, quindi la frazione di primi di Ramanujan generalizzati rispetto ai primi tende a 1 – c.

 

Nel 2015 Christian Axler e Thomas Leßmann dimostrarono che:

  • R(c, 1) ≤ 58837 / c;

  • Rc, 1 < 2, per c ≤ 3 / 5;

  • Rc, 1 = pn, dove n è il massimo intero tra 2 e 5950 tale che p(n – 1) / p(n) < c, per 3 / 5  < c < 0.9991039744 e in particolare Rc, 1 = p5950 = 58889, per 3 / 5  < c < 0.9991039744 > c > 58831 / 58889.

 

La tabella seguente riporta i primi di Ramanujan generalizzati per alcuni valori di c (Nadine Amersi, Olivia Beckwith, Steven J. Miller, Ryan Ronan, Vladimir Shevelev e Jonathan Sondow, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

c

Primi di Ramanujan generalizzati

1 / 4

2, 3, 5, 13, 17, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 61, 71, 79, 83, 97, 101, 103, 107, 127, 131, 137, 149, 151, 157, 173, 179, 191, 193, 197, 199, 223, 227, 229, 239, 251, 257, 269, 271, 277, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 349, 359, 367, 373, 379, 389, 397, 419, 431, 439

1 / 3

2, 3, 11, 17, 23, 29, 41, 43, 59, 61, 71, 73, 79, 97, 101, 103, 107, 131, 137, 149, 151, 163, 167, 179, 191, 193, 223, 227, 229, 239, 251, 257, 269, 271, 277, 281, 311, 331, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 383, 397, 419, 421, 431, 433, 439, 457, 461, 463, 479, 491

5 / 6

2, 11, 17, 37, 43, 59, 61, 79, 97, 101, 103, 137, 163, 167, 191, 211

2 / 3

2, 13, 37, 41, 67, 73, 97, 127, 137, 173, 179, 181, 211, 229, 239

3 / 4

11, 29, 59, 67, 101, 149, 157, 163, 191, 227, 269, 271, 307, 379, 383, 419, 431, 433, 443, 457, 563, 593, 601, 641, 643, 673, 701, 709, 733, 827, 829, 907, 937, 947, 971, 1019, 1033, 1039, 1051, 1087, 1187, 1193, 1217, 1277, 1427, 1429, 1433, 1481, 1483, 1487

5 / 6

29, 59, 137, 139, 149, 223, 241, 347, 353, 383, 389, 563, 569, 593

9 / 10

127, 223, 227, 269, 349, 359, 569, 587, 593, 739, 809, 857, 991, 1009

14 / 15

127, 307, 347, 563, 569, 733, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447

 

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