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Primi di Pillai

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi di Pillai” i numeri primi p che dividono un intero della forma n! + 1, mentre n non divide p – 1. Per esempio, 59 divide 15! + 1 = 1307674368001, e 15 non divide 59 – 1 = 58. La seconda parte della definizione serve per escludere casi banali, perché, come afferma il teorema di Wilson, ogni primo p divide (p – 1)! + 1.

 

Prendono il nome dal matematico indiano Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (Nagercoil, India, 5/41901 – Il Cairo, 31/8/1950), che nel 1930 chiese se ogni primo p che divide n! + 1 fosse della forma kn + 1, ossia tale che n divida p – 1.

Poco dopo S. Chowla trovò le prime due eccezioni: 23 divide 14! + 1 = 87178291201, mentre 22 non è divisibile per 14 e 23 divide 18! + 1 = 6402373705728001, mentre 22 non è divisibile per 18.

Come mostra il caso di 23, per un primo di Pillai possono esserci più valori di n che soddisfano i requisiti.

 

Il problema fu quindi ignorato sino al 1993, quando G.E. Hardy e M.V. Subbarao chiesero se tali primi fossero infiniti. La risposta è affermativa e Paul Erdös trovò nello stesso anno una dimostrazione, poi nel 1998 Subbarao e Hardy trovarono una dimostrazione più semplice.

Non si sa invece se siano infiniti i primi non di Pillai.

 

I primi di Pillai inferiori a 1000 sono: 23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, 227, 233, 239, 251, 257, 269, 271, 277, 293, 307, 311, 317, 359, 379, 383, 389, 397, 401, 419, 431, 449, 461, 463, 467, 479, 499, 503, 521, 557, 563, 569, 571, 577, 593, 599, 601, 607, 613, 619, 631, 641, 647, 661, 673, 683, 691, 709, 719, 727, 733, 739, 787, 797, 809, 811, 823, 829, 853, 857, 881, 883, 887, 907, 919, 947, 953, 967, 983, 991.

Qui trovate i primi di Pillai inferiori a 100000 (R.K. Guy, David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Hardy e Subbarao dimostrarono anche che sono infiniti i valori distinti di n associati ai vari primi di Pillai, detti “numeri EHS” dalle iniziali di Erdös, Hardy e Subbarao. I primi sono 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 74, 75, 76, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85.

Si ritiene che tra questi vi siano infiniti valori uguali a un primo meno uno, ma non è stato dimostrato.

Vedi anche

Primi (numeri).

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