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Thābit ibn Qurra di seconda specie (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie” i numeri naturali della forma 3 · 2n + 1.

 

I numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie minori di 1012 sono: 4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, 3145729, 6291457, 12582913, 25165825, 50331649, 100663297, 201326593, 402653185, 805306369, 1610612737, 3221225473, 6442450945, 12884901889, 25769803777, 51539607553, 103079215105, 206158430209, 412316860417, 824633720833.

 

I primi di Thābit di seconda specie, detti anche “primi 321 di seconda specie”, sono i numeri di Thābit ibn Qurra di seconda specie che sono primi; quelli inferiori a 1027 sono: 7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393.

Si conoscono 49 primi del genere, per n = 1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346. Non ve ne sono altri per n ≤ 3941000.

 

Solomon W. Golomb dimostrò nel 1976 che:

  • un primo divide un numero di Thābit ibn Qurra di seconda specie se e solo se divide 2n + 3 per qualche valore di n;

  • vi sono infiniti primi che dividono qualche numero di Thābit ibn Qurra di seconda specie e infiniti primi che non ne dividono nessuno;

  • i primi della forma 24k + 17 e 24k + 23 non dividono alcun numero di Thābit ibn Qurra di seconda specie;

  • i numeri 3 • 2n + 1 per n pari sono divisibili solo per primi della forma 6k + 1;

  • i numeri 3 • 2n + 1 per n dispari sono divisibili solo per primi della forma 24k + 1, 24k + 5, 24k + 7 e 24k + 11;

  • se un primo p divide un numero di Thābit ibn Qurra di seconda specie 3 • 2n + 1, divide tutti e soli i numeri 3 • 2m + 1, dove mn mod ordp(2);

  • se p = 3 • 2m + 1 è primo, 2 non è radice primitiva di p, tranne nel caso p = 13;

  • l’ordine di 2 modulo un primo di Thābit di seconda specie p non è multiplo di 3 se e solo se p divide un numero di Fermat;

  • se p è un primo di Thābit di seconda specie, ordp(2) è multiplo di 3;

  • 2 è un residuo cubico di un primo di Thābit di seconda specie p se e solo se p è della forma a2 + 27b2.

 

Si conoscono solo due casi di primi di Thābit di seconda specie che dividano un numero di Fermat: 3 • 241 + 1 divide F38 e 3 • 2209 + 1 divide F207.

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