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Thābit ibn Qurra (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Thābit ibn Qurra”, “numeri di Thābit ibn Qurra di prima specie” o “numeri 321” i numeri naturali della forma 3 • 2n – 1.

 

Prendono il nome dal matematico, fisico e astronomo Al-Sābi’ Thābit ibn Qurra al-Harrānī (826 – 18/2/901), che notò che se che se p = 3 • 2n – 1 – 1, q = 3 • 2n – 1 e r = 9 • 22n – 1 – 1 sono primi con n > 1, allora 2npq e 2nr formano una coppia di numeri amichevoli (I). Per n = 2 otteniamo p = 5, q = 11, r = 71 e la nota coppia di numeri amichevoli 220 e 284.

Le uniche coppie di numeri amichevoli note costruibili con questo metodo si ottengono per n uguale a 2, 4 e 7.

 

I numeri di Thābit ibn Qurra minori di 1012 sono: 2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727, 6291455, 12582911, 25165823, 50331647, 100663295, 201326591, 402653183, 805306367, 1610612735, 3221225471, 6442450943, 12884901887, 25769803775, 51539607551, 103079215103, 206158430207, 412316860415, 824633720831.

 

I primi di Thābit ibn Qurra di prima specie, detti anche “primi 321 di prima specie”, sono i numeri di Thābit ibn Qurra che sono primi; quelli inferiori a 1030 sono: 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, 26388279066623, 108086391056891903, 55340232221128654847, 226673591177742970257407, 59421121885698253195157962751.

Si conoscono 62 primi del genere, per n = 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718. Non ve ne sono altri per n ≤ 12078521.

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