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Primi di Lerch

Teoria dei numeri 

Nel 1905 Matyáš Lerch (Milínov, Repubblica Ceca, 20/2/1860 – Sušice, Repubblica Ceca, 3/8/1922) dimostrò che se p è un primo dispari, Congruenza soddisfatta dai primi dispari, dove qp(n) è il quoziente di Fermat e wp è il quoziente di Wilson.

Come accadde nel caso del teorema di Wilson (v. primi di Wilson), i matematici si chiesero se la congruenza potesse valere per potenze superiori di p e scoprirono che esistono alcuni primi dispari, detti “primi di Lerch”, tali che Congruenza per la definizione dei primi di Lerch, ovvero Congruenza per la definizione dei primi di Lerch.

Una definizione equivalente è che i primi di Lerch sono i numeri primi per i quali il quoziente di Lerch Lp è multiplo di p.

I primi di Lerch noti sono: 3, 103, 839, 2237; se ne esistono altri, sono maggiori di 4496113 (Marek Wolf).

Non è noto se siano in numero finito o meno e non è neppure stato dimostrato che siano infiniti i primi non di Lerch.

 

La somma che compare nel teorema di Lerch si può anche esprimere come Congruenza alternativa per il teorema di Lerch per p > 3 (Carlitz, 1953) e come Formula alternativa per il teorema di Lerch per p > 2.

 

Un primo maggiore di 3 è un primo di Lerch se e solo se pBp – 1p + (p – 1)! mod p3 (Jonathan Sondow, 2012).

 

Un primo dispari è un primo di Lerch se e solo se Congruenza soddisfatta dai primi di Lerch (John Blythe Dobson, 2015).

 

Non si conosce alcun primo che sia contemporaneamente sia di Wilson, sia di Lerch; si sa però che:

  • condizione sufficiente perché un primo appartenga alle due categorie è che B2p – 2Bp – 1 mod p2 o cheCondizione sufficiente perché un primo dispari sia un primo di Wilson e di Lerch (John Blythe Dobson, 2015);

  • condizione necessaria perché un primo appartenga alle due categorie è che Condizione necessaria perché un primo dispari sia un primo di Wilson e di Lerch, dove qp(n) è il quoziente di Fermat (René Gy, 2018); i primi noti che soddisfano il requisito sono 2, 11 e 971, ma nessuno di essi appartiene a entrambe le categorie;

  • un primo appartiene alle due categorie se e solo se wp dove wp è il quoziente di Wilson (René Gy, 2018).

Una congettura sui primi di n-Lerch implica che non esistano primi appartenenti simultaneamente alle due categorie.

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