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Primi di Lerch

Teoria dei numeri 

Nel 1905 Matyáš Lerch (Milínov, Repubblica Ceca, 20/2/1860 – Sušice, Repubblica Ceca, 3/8/1922) dimostrò che se p è un primo dispari, Congruenza soddisfatta dai primi dispari, ovvero Congruenza soddisfatta dai primi dispari. Come accadde nel caso del teorema di Wilson (v. primi di Wilson), i matematici si chiesero se la congruenza potesse valere per potenze superiori di p e scoprirono che esistono alcuni primi dispari, detti “primi di Lerch”, tali che Congruenza per la definizione dei primi di Lerch, ovvero Congruenza per la definizione dei primi di Lerch.

I primi di Lerch noti sono: 3, 103, 839, 2237; se ne esistono altri, sono maggiori di 4496113 (Marek Wolf).

Non è noto se siano in numero finito o meno e non è neppure stato dimostrato che siano infiniti i primi non di Lerch.

 

La somma che compare nel teorema di Lerch si può anche esprimere come Congruenza alternativa per il teorema di Lerch per p > 3 (Carlitz, 1953) e come Formula alternativa per il teorema di Lerch per p > 2.

 

Un primo dispari è un primo di Lerch se e solo se Congruenza soddisfatta dai primi di Lerch (John Blythe Dobson, 2015).

 

Si chiama “quoziente di Lerch” il valore Formula per la definizione del quoziente di Lerch; i primi di Lerch sono quindi i numeri primi per i quali il quoziente di Lerch è multiplo di p.

L’unico caso noto nel quale il quoziente di Lerch sia primo è L(5) = 13.

 

Non si conosce alcun primo che sia contemporaneamente sia di Wilson, sia di Lerch; nel 2015 John Blythe Dobson dimostrò che un primo p maggiore di 3 è contemporaneamente sia di Wilson, sia di Lerch se B2p – 2Bp – 1 mod p2 o se Condizione sufficiente perché un primo dispari sia un primo di Wilson e di Lerch.

 

Un primo dispari è un primo di Lerch se e solo se

Vedi anche

Primi (numeri).

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