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Linnik (costante di)

Teoria dei numeri 

Dirichlet dimostrò che ogni progressione aritmetica an + b con a e b primi tra loro contiene infiniti numeri primi. Yuri Vladimirovich Linnik (Bila Tserkva, Ucraina, 8/1/1915 – Leningrado, oggi S. Pietroburgo, 30/6/1972) dimostrò nel 1944 che per a abbastanza grande e per qualsiasi valore di b il primo di essi è minore di CaL, con C e L costanti; L da allora prese il nome di “costante di Linnik”.

 

L’aspetto curioso di questa costante è che sappiamo che esiste, ma non ne conosciamo il valore, né, almeno per ora, alcun metodo per determinarlo con precisione.

 

I matematici hanno lavorato per anni al problema, cercando di stabilire limiti via via più stretti nei quali rinchiudere il recalcitrante valore.

Il limite inferiore è 1 e non ci sono indizi che fanno supporre che possa essere aumentato.

Il limite superiore è stato progressivamente ridotto, come mostra la tabella seguente.

Valore

Anno

Autore

10000

1957

Cheng Dong Pan

5448

1958

Cheng Dong Pan

777

1965

Jingrun Chen

630

1971

M. Jutila

550

1970

M. Jutila

168

1977

Jingrun Chen

80

1977

M. Jutila

36

1977

S.W. Graham

20

1979

S.W. Graham

17

1979

Jingrun Chen

16

1986

Wang

13.5

1989

Jingrun Chen e Jian Min Liu

8

1990

Wang

5.5

1992

D.R. Heath-Brown

5.2

2009

Triantafyllos Xylouris

5

2011

Triantafyllos Xylouris

 

Supponendo vera l’ipotesi di Riemann generalizzata, è stato dimostrato che il minimo primo non supera φ(a)2log2a e quindi la costante di Linnik potrebbe essere ridotta a quasi 2. E’ noto che la costante non è maggiore di 2 per quasi tutti i valori di a; alcuni matematici suppongono che L possa essere addirittura 1.

 

K. Prachar (1961) e A. Schinzel (1962) dimostrarono che per ogni valore di b esistono infiniti valori di a tali che il minimo numero primo è maggiore di Limite inferiore per il minimo primo per una costante c, quindi la costante di Linnik è almeno 1.

Nel 1980 Carl Pomerance dimostrò che il minimo numero primo è almeno cφ(a)loga, per una costante c maggiore di eγ ≈ 1.7810724180.

Vedi anche

Primi (numeri).

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